Esercizi sul completamento a base

In questa pagina proponiamo una raccolta di esercizi sul completamento a base. Tutti gli esercizi sono risolti, corredati da svolgimenti spiegati passaggio per passaggio ed elencati in ordine crescente di difficoltà.

 

La consegna che accomuna gli esercizi di questa scheda, ossia completare un insieme di vettori di uno spazio vettoriale a una base del medesimo, è sostanzialmente antitetica rispetto all'operazione di estrazione di un base da un sistema di generatori.

 

In quest'ultimo caso infatti si parte da un sistema di generatori ed è richiesto di ricavarne una base; negli esercizi di completamento a base invece si parte da uno o più vettori che non generano lo spazio vettoriale, ed è richiesto di individuarne altri così da formare un nuovo insieme che sia una base dello spazio.

 

Esercizi risolti sul completamento a base di un insieme di vettori

 

I) Determinare una base di \mathbb{R}^3 che contiene l'insieme di vettori

 

W=\{(2,1,1), \ (1,2,-1)\}

 

II) Nello spazio vettoriale \mathbb{R}^3 trovare una base del sottospazio

 

U=\mbox{Span}((1,1,1), \ (2,2,2), \ (-3,3,-3))

 

e scrivere una base di \mathbb{R}^3 contenente la base di U trovata.

 

III) Dopo aver verificato l'indipendenza lineare dei vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,0,0,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,0,1,0)

 

completare l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} a base di \mathbb{R}^4.

 

IV) Scrivere una base di \mathbb{R}^4 che contenga il vettore \mathbf{v}=(1,1,0,0).

 

V) Siano \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 i vettori della base canonica di \mathbb{R}^3 e siano

 

\mathbf{v}_1=\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_3 \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3

 

Completare l'insieme S=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} a base di \mathbb{R}^3.

 

VI) Stabilire per quali valori reali del parametro k i vettori

 

\mathbf{v}_1=(2k,k,k) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(k,k,k)

 

sono linearmente indipendenti e completare l'insieme S=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} a base di \mathbb{R}^3.

 

VII) Si considerino le seguenti matrici di Mat(3,2,\mathbb{R})

 

A=\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \ \ ; \ \ B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \ \ ; \ \ C=\begin{pmatrix}-1 & 3 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0\end{pmatrix}

 

Dopo aver verificato che sono linearmente indipendenti tra loro, completare l'insieme \{A,B,C\} a base di Mat(3,2,\mathbb{R}).

 

VIII) Sia U il seguente sottoinsieme dello spazio di matrici Mat(2,2,\mathbb{R}):

 

U=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 4a & c\end{pmatrix} \ | \ a,b,c \in \mathbb{R}\right\}

 

1) Verificare che è un sottospazio vettoriale di Mat(2,2,\mathbb{R});

 

2) calcolare la dimensione e una base di U;

 

3) completare la base di U precedentemente trovata a base di Mat(2,2,\mathbb{R}).

 

IX) Sia \mathbb{R}_3[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali, nell'indeterminata x e di grado minore o uguale a 3.

 

Determinare una base di \mathbb{R}_3[x] che contenga l'insieme

 

S=\{p_1(x), p_2(x)\}=\{1+x, \ 2-x+x^3\}.

 

X) Dati i seguenti polinomi di \mathbb{R}_2[x]:

 

\\ p_1(x)=1+x \ \ \ ; \ \ \ p_2(x)=2-x+x^2 \\ \\ p_3(x)=3x-x^2

 

si consideri il sottospazio U da essi generato

 

U=\mbox{Span}(p_1(x), p_2(x), p_3(x)).

 

Determinare una base e la dimensione di U e completare la base trovata a base di \mathbb{R}_2[x].

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Scrivere una base di che contiene un insieme di vettori 

 

II) Calcolare una base di un sottospazio generato e completarla a base di R^3

 

III) Verificare l'indipendenza lineare di un insieme di vettori e completarlo a base di R^4

 

IV) Formare una base a partire da un solo vettore

 

V) Completare a base un insieme di vettori definiti come combinazioni lineari

 

VI) Scrivere una base partendo da un insieme di vettori parametrici

 

VII) Completamento a base di un insieme di matrici

 

VIII) Dimensione e base di un sottospazio di matrici e completamento della base

 

IX) Base di uno spazio di polinomi che contiene un insieme di polinomi

 

X) Calcolare una base di un sottospazio di polinomi e completarla a base di R_2[x]

 

 

Lezione correlata

 
 

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