Esercizi: estrarre una base da un sistema di generatori

State leggendo la scheda di esercizi sull'estrazione di una base da un sistema di generatori di uno spazio vettoriale. Le tracce in elenco sono corredate da svolgimenti completi e dettagliati, e sono ordinate per livelli di difficoltà crescente.

 

Prima di procedere con gli esercizi, in riferimento alla teoria, è essenziale avere piena dimestichezza con i seguenti prerequisiti:

 

sistema di generatori

 

span e sottospazio generato

 

base di uno spazio vettoriale

 

Per quanto riguarda la guida alla risoluzione degli esercizi (metodo ed esempi), vi raccomandiamo di leggere la lezione in cui spieghiamo come estrarre una base da un sistema di generatori.

 

Esercizi risolti: come estrarre una base da un sistema di generatori

 

I) Usando il criterio dei minori, estrarre una base dello spazio generato dai vettori

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,0,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(2,1,-3) \\ \\ \mathbf{v}_3=(5,-2,6) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(3,-3,9)

 

II) Calcolare una base del sottospazio S di \mathbb{R}^4 generato dai vettori

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,1,0,-2) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(2,4,1,5) \\ \\ \mathbf{v}_3=(5,9,2,8) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(3,7,2,12)

 

III) Siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 \in \mathbb{R}^5 i seguenti vettori

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,1,1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,2,2,2,2) \\ \\ \mathbf{v}_3=(0,1,-2,3,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_4=(1,2,-1,4,2)

 

Calcolare una base del sottospazio W da essi generato usando il metodo degli scarti successivi.

 

IV) Il seguente insieme di vettori

 

\{(1,1,0,1), \ (-1,0,1,-2), \ (-1,1,2,-3), \ (-2,2,4,-5)\}

 

genera un sottospazio S di \mathbb{R}^4. Estrarne una parte linearmente indipendente massimale e calcolare la dimensione di S.

 

V) Determinare una base e la dimensione del sottospazio vettoriale V di \mathbb{R}^5 di equazioni parametriche

 

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (a-b, \ b-c, \ 0, \ a-c, \ a-2b+c)

 

con a,b,c \in \mathbb{R}.

 

VI) Sia h un parametro reale e siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 i seguenti vettori di \mathbb{R}^3:

 

\mathbf{v}_1=(1,h,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,0,h) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(h,-1,1).

 

Detto V_h il sottospazio da essi generato, calcolare la dimensione e una base di V_h al variare di h \in \mathbb{R}.

 

VII) Dato il seguente insieme di vettori

 

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} = \{(1,k,0), \ (-1,0,1), \ (2,2k,k+1)\}

 

si determinino, al variare del parametro k\in \mathbb{R}, la dimensione e una base della sua copertura lineare.

 

VIII) Si considerino le seguenti matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali

 

A_1=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 0&2\end{pmatrix} \ \ ; \ \ A_2=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&-1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ A_3=\begin{pmatrix}1&2 \\ 1&-3\end{pmatrix}

 

Determinare una base per il sottospazio S da esse generato.

 

IX) Determinare la dimensione e una base del sottospazio di matrici Mat(2,2,\mathbb{R}) così definito:

 

V=\left\{\begin{pmatrix}a+b+c & b-c \\ a+2c & -a+b-3c\end{pmatrix} \ | \ a,b,c \in \mathbb{R}\right\}

 

X) Calcolare la dimensione e una base del sottospazio Q di \mathbb{R}_3[x] generato dai polinomi

 

\\ q_1(x)=1+x^2+2x^3 \ \ \ ; \ \ \ q_2(x)=x-3x^3 \\ \\ q_3(x)=1+x+x^2-x^3

 

XI) Determinare una famiglia di generatori minima per il sottospazio S di \mathbb{R}_{10}[x] così definito:

 

S=\mbox{Span}(p_1(x), p_2(x), p_3(x))

 

con

 

\\ p_1(x)=1+2x-x^2+x^{10} \\ \\ p_2(x)=3-x+2x^2+2x^{10} \\ \\ p_3(x)=4+x+x^2+3x^{10}

 

 

Svolgimenti e soluzioni 

 

I) Estrarre una base da un sistema di generatori col criterio dei minori 

 

II) Estrazione di una base con eliminazione gaussiana

 

III) Calcolare una base di un sottospazio di R^5 con scarti successivi

 

IV) Estrazione di una parte linearmente indipendente massimale

 

V) Dimensione e base di un sottospazio vettoriale con equazioni parametriche

 

VI) Dimensione e base di un sottospazio generato da vettori con parametro

 

VII) Dimensione e base della copertura lineare al variare di un parametro

 

VIII) Calcolare una base di un sottospazio generato da matrici

 

IX) Trovare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale di matrici

 

X) Calcolare la dimensione e una base di un sottospazio di polinomi

 

XI) Famiglia di generatori minima per un sottospazio di polinomi

 

 

Lezione correlata

 
 

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