Esercizi: base dello spazio delle soluzioni di sistemi lineari omogenei

In questa scheda proponiamo una raccolta di esercizi sul calcolo di una base per lo spazio delle soluzioni di sistemi lineari omogenei. Tutti gli esercizi sono risolti nel dettaglio ed elencati in ordine di difficoltà crescente.

 

Determinare una base per i sottospazi di soluzioni dei sistemi lineari omogenei è un compito che ricorre a più livelli negli esercizi di Algebra Lineare, come d'altronde avrà già constatato chi ha affrontato tutta la teoria. Per questo motivo negli esercizi proponiamo tipologie di sistemi lineari omogenei, nelle diverse forme con cui possono presentarsi.

 

Per la lezione di riferimento, esempi svolti e la guida generale alla risoluzione degli esercizi: base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.

 

Esercizi risolti - base dello spazio delle soluzioni di sistemi lineari omogenei

 

I) Calcolare una base dello spazio delle soluzioni del seguente sistema lineare omogeneo di tre equazioni in tre incognite

 

\begin{cases}x+y-2z=0 \\ x+2y=0 \\ 2x+3y-2z=0\end{cases}

 

II) Sia W \subset \mathbb{R}^4 lo spazio delle soluzioni del sistema di equazioni

 

\begin{cases}x_1+x_2=0 \\ -5x_1-2x_2+5x_3-3x_4=0 \\ 3x_1+2x_2-3x_3+x_4=0\end{cases}

 

Trovare una base di W e determinare la sua dimensione.

 

III) Calcolare la dimensione e una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}, dove A è la seguente matrice:

 

A=\begin{pmatrix}1&1&3&0 \\ 2&1&2&3\end{pmatrix}

 

IV) Trovare una base del seguente sottospazio vettoriale

 

S=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ 2x+y+z=0\}

 

V) Nello spazio vettoriale \mathbb{R}^4 si consideri il sottospazio W così definito:

 

W=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x-y-z-2t=0\}

 

Calcolare la dimensione e una base di W.

 

VI) Calcolare la dimensione e una base del sottospazio S di \mathbb{R}^5 definito da

 

S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in \mathbb{R}^5 \ | \ x_1-x_3+2x_4+x_5=0 \ ; \ x_2+3x_4+x_5=0\}

 

VII) Si determinino la dimensione e una base del sottospazio V di \mathbb{R}^4 le cui equazioni di riferimento sono:

 

\\ x+2y-3z+t=0 \\ \\ y-z+t=0 \\ \\ x+y-2z=0

 

VIII) Dimostrare che i vettori

 

\mathbf{v}_1=(4,-2,1,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,0,0,1)

 

generano lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

\begin{cases}x_1+x_2-x_3+x_4=0 \\ x_2+2x_3=0 \\ x_1+2x_2+x_3+x_4=0 \end{cases}

 

IX) Si consideri il sistema lineare parametrico

 

\begin{cases}x+y-z+t=h \\ 2x+y=7h \\ x+2y-3z+3t=3h\end{cases}

 

e si determinino i valori reali di h per cui l'insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4. A questo punto, per ogni valore di h trovato, si calcoli una base del sottospazio.

 

X) Determinare, al variare di k \in \mathbb{R}, la dimensione e una base del seguente sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 definito da equazioni lineari omogenee e parametriche

 

V=\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x+ky-2t=kx+y+kz-kt=(k^2-1)y-kz-t=0\}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Base dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo 3x3

 

II) Base e dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema 3x4 omogeneo

 

III) Base e dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema in forma matriciale

 

IV) Base di un sottospazio di R^3 definito da un'equazione cartesiana

 

V) Dimensione e base di un sottospazio con un'equazione lineare omogenea

 

VI) Base di un sottospazio di R^5 con due equazioni cartesiane

 

VII) Dimensione e base di un sottospazio di R^4 note le equazioni di riferimento

 

VIII) Dimostrare che due vettori generano lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo

 

IX) Calcolare una base dello spazio delle soluzioni di un sistema parametrico

 

X) Dimensione e base di un sottospazio definito da equazioni parametriche

 

 

Lezione correlata

 
 

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