Esercizi sulle matrici di cambiamento di base

Questa pagina raccoglie una selezione di esercizi svolti sulla matrice di cambiamento di base, nota anche come matrice di passaggio tra due basi. Gli esercizi sono proposti in ordine di difficoltà crescente, sono risolti nel dettaglio e commentati passo-passo, con tutti i calcoli e le considerazioni del caso.

 

Per affrontare al meglio gli esercizi sulle matrici di passaggio e per apprendere l'utilità di tale nozione, pratica ancor prima che teorica, è necessario conoscere i metodi per scrivere le coordinate di un vettore rispetto a una base assegnata, e ovviamente conoscere vita, morte e miracoli del concetto di base. :)

 

Vi raccomandiamo dunque di affrontare gli esercizi solo dopo aver consolidato le vostre basi teoriche e i relativi metodi di risoluzione. A tal proposito qui su YM c'è una lezione interamente dedicata all'argomento: matrice di cambiamento di base.

 

Esercizi risolti sulle matrici di cambiamento di base

 

I) Dopo aver verificato che

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} = \{(1,2), \ (1,1)\}

 

è una base di \mathbb{R}^2, calcolare la matrice di passaggio dalla base canonica di \mathbb{R}^2 a \mathcal{B}.

 

II) Stabilire se

 

\mathcal{B}=\{(-1,2,1), \ (0,1,3), \ (1,-2,1)\}

 

è una base di \mathbb{R}^3 e, in caso affermativo, scrivere la matrice di passaggio da \mathcal{B} alla base canonica di \mathbb{R}^3.

 

III) In \mathbb{R}^3 si considerino i vettori

 

\\ \mathbf{v}_1'=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2' = (1,-1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3'=(3,0,1) \\ \\ \mathbf{v}_1''=(2,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2'' = (0,2,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3''=(3,3,2)

 

Mostrare che

 

\mathcal{B}'=\{\mathbf{v}_1', \mathbf{v}_2', \mathbf{v}_3'\} e \mathcal{B}''=\{\mathbf{v}_1'', \mathbf{v}_2'', \mathbf{v}_3''\} sono basi di \mathbb{R}^3 e scrivere la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}' a \mathcal{B}''.

 

IV) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione due e siano \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} e \mathcal{B}'=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\} due basi per V tali che:

 

\mathbf{v}_1=6\mathbf{w}_1-2\mathbf{w}_2 \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=9\mathbf{w}_1-4\mathbf{w}_2

 

1) Determinare la matrice di passaggio da \mathcal{B} a \mathcal{B}'.

 

2) Calcolare le coordinate del vettore \mathbf{v}=-3\mathbf{v}_1+3\mathbf{v}_2 riferite alla base \mathcal{B}'.

 

V) Siano assegnate due basi dello spazio vettoriale \mathbb{R}^2:

 

\\ \mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}= \{(1,0), \ (1,1)\} \\ \\ \mathcal{B}'=\{\mathbf{v}_1', \mathbf{v}_2'\} = \{(0,-1), \ (2,1)\}

 

Si determini la matrice del cambiamento di base da \mathcal{B} a \mathcal{B}' e la matrice di passaggio da \mathcal{B}' a \mathcal{B}.

 

Si verifichi, inoltre, che le matrici trovate sono una l'inversa dell'altra.

 

VI) Date le basi

 

\\ \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}=\{(1,2,-1), \ (0,1,2), \ (1,2,0)\} \\ \\ \mathcal{B}'=\{\mathbf{v}_1',\mathbf{v}_2',\mathbf{v}_3'\} = \{(-1,-2,1), \ (0,-2,1), \ (0,-1,1)\}

 

trovare la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}' a \mathcal{B}.

 

VII) Stabilire per quali valori di t \in \mathbb{R} i vettori

 

\mathbf{v}_1=(3,0,2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,2,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,t,-2)

 

costituiscono una base di \mathbb{R}^3 e, per t=0, calcolare la matrice di passaggio da \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} alla base canonica di \mathbb{R}^3.

 

VIII) Siano \mathcal{B} e \mathcal{B}' due basi di \mathbb{R}^3. Determinare i vettori della base \mathcal{B}' sapendo che

 

\mathcal{B}=\{(1,1,1), \ (1,1,0), \ (1,0,0)\}

 

e conoscendo la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B} a \mathcal{B}':

 

M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}=\begin{pmatrix}3&2&3 \\ 2&1&1 \\ 1&0&1\end{pmatrix}

 

IX) Dati i seguenti polinomi di \mathbb{R}_2[x]:

 

\\ p_1(x)=x+x^2 \ \ ; \ \ p_2(x)=1+3x+2x^2 \\ \\ p_3(x)=2-x^2 \ \ ; \ \ q_1(x)=-x^2 \\ \\ q_2(x)=-2-x-2x^2 \ \ ; \ \ q_3(x)=x+x^2

 

è noto che \mathcal{B}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} e \mathcal{B}'=\{q_1(x), q_2(x), q_3(x)\} sono basi di \mathbb{R}_2[x].

 

Calcolare la matrice di passaggio da \mathcal{B} a \mathcal{B}'.

 

X) Si considerino le seguenti matrici di Mat(2,2,\mathbb{R}):

 

\\ A_1=\begin{pmatrix}2&0 \\ -3&0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ A_2=\begin{pmatrix}1&2 \\ -1&3\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_3=\begin{pmatrix}-1&0 \\ 4&0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ A_4=\begin{pmatrix}5&0 \\ 1&-2\end{pmatrix}

 

Dopo aver verificato che \mathcal{B}=\{A_1, A_2, A_3, A_4\} è una base di Mat(2,2,\mathbb{R}) scrivere la matrice di passaggio da \mathcal{B} alla base canonica di Mat(2,2,\mathbb{R}).

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Matrice di passaggio dalla base canonica a una arbitraria

 

II) Matrice di passaggio da una base data alla canonica di R^3

 

III) Matrice di passaggio tra basi arbitrarie

 

IV) Matrice di passaggio tra basi espresse con combinazioni lineari

 

V) Scrivere entrambe le matrici di passaggio tra basi qualsiasi

 

VI) Determinare la matrice del cambiamento di base tra due basi assegnate

 

VII) Valori di un parametro per cui tre vettori formano una base e matrice di passaggio

 

VIII) Determinare una base nota un'altra base e la matrice di passaggio

 

IX) Matrice di passaggio tra basi di polinomi

 

X) Matrice di passaggio tra basi di matrici

 

 

Lezione correlata

 
 

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