Esercizi: coordinate rispetto a una base

State leggendo la scheda di esercizi risolti sulle coordinate rispetto a una base. Ciascuno degli esercizi proposti qui di seguito è corredato da uno svolgimento completo, con tutti i calcoli e i commenti del caso. Le tracce inoltre sono elencate in ordine di difficoltà crescente, e ricoprono le varie tipologie di richieste dei corsi universitari di Algebra Lineare.

 

Per risolvere gli esercizi sul calcolo delle componenti rispetto a una base è necessario conoscere a menadito la definizione di base di uno spazio vettoriale, e possibilmente avere dimestichezza con gli esercizi su dimensione e base di sottospazi vettoriali.

 

Per ripassare la teoria, e rivedere i metodi pratici per scrivere le coordinate di un vettore rispetto a una base assegnata, potete leggere la lezione dell'omonimo link. ;)

 

Esercizi risolti sulle coordinate rispetto a una base

 

I) Dopo aver verificato che i vettori

 

\mathbf{v}_1=(2,3) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,4)

 

formano una base di \mathbb{R}^2, calcolare le componenti del vettore \mathbf{u}=(2,6) rispetto a essa.

 

II) Verificare che i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,2,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,3,2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,1,0)

 

individuano una base di \mathbb{R}^3 e, successivamente, determinare le componenti del vettore \mathbf{u}=(-1,1,-8) rispetto a tale base.

 

III) Le componenti di \mathbf{u} rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3 sono (-3,4,-4). Calcolare le componenti di \mathbf{u} riferite alla base \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}, dove

 

\mathbf{v}_1=(1,2,-1), \ \mathbf{v}_2=(2,0,1), \mathbf{v}_3=(1,0,1).

 

IV) Dimostrare che

 

\mathcal{B}=\{(0,0,1), \ (1,2,-1), \ (1,1,0)\}

 

è una base di \mathbb{R}^3 e determinare le componenti in \mathcal{B} del vettore \mathbf{u}=(1,-1,-1).

 

V) Dopo aver verificato che

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}=\{(1,0,1), \ (1,0,0), \ (0,1,-1)\}

 

è una base di \mathbb{R}^3, calcolare le coordinate di \mathbf{v}=(1,1,1) rispetto a \mathcal{B}.

 

VI) Stabilire se

 

\\ \mathbf{v}_1=2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_2 \\ \\ \mathbf{v}_2=\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3 \\ \\ \mathbf{v}_3=\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3

 

formano una base di \mathbb{R}^3 e, in caso affermativo, calcolare le componenti del vettore \mathbf{w}=(-1,2,1) rispetto a essa.

 

VII) Dopo aver verificato che i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,-1,-1,1+k) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,-1,k)

 

costituiscono una base del sottospazio vettoriale

 

S=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2)

 

per ogni k \in \mathbb{R}, calcolare le componenti di \mathbf{u}=(0,-2,0,1) rispetto a tale base.

 

VIII) Sia \mathbb{R}_2[x] lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali, e si consideri la sua base

 

\mathcal{B}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} = \{1+x, \ 1+x^2, \ x+x^2\}.

 

Calcolare le coordinate del polinomio q(x)=1+x+x^2 rispetto a \mathcal{B}.

 

IX) Dopo aver stabilito che

 

p_1(x)=4 \ \ ; \ \ p_2(x)=-2+5x \ \ ; \ \ p_3(x)=1+2x-x^2

 

formano una base di \mathbb{R}_2[x], calcolare le componenti del polinomio

 

p(x)=3-x+3x^2

 

rispetto a essa.

 

X) Siano A_1,A_2\in Mat(2,2,\mathbb{R}) le matrici

 

A_1=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ A_{2}=\begin{pmatrix}-1&1\\ 1& 2\end{pmatrix}

 

Noto che esse costituiscono una base del sottospazio W=\mbox{Span}\left(A_1,A_2\right), verificare che la matrice

 

A=\begin{pmatrix}-1&5\\ 3&8\end{pmatrix}

 

è un elemento di W e determinare le coordinate di A rispetto alla base \mathcal{B}=\left\{A_1,A_2\right\}.

 

XI) Sia V uno spazio vettoriale su un campo \mathbb{K} di dimensione n e sia \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una sua base.

 

Dimostrare che per ogni \mathbf{v} \in V esiste un'unica n-upla di scalari (a_1, a_2, ..., a_n) \in \mathbb{K}^n tale che

 

\mathbf{v}=a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + ... + a_n \mathbf{v}_n

 

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare le componenti di un vettore rispetto a una base di R^2

 

II) Determinare le coordinate di un vettore rispetto a una base di R^3

 

III) Dalla base canonica a una base generica

 

IV) Dimostrare che più vettori formano una base e determinare le componenti di un vettore

 

V) Coordinate di un vettore rispetto a una base fissata

 

VI) Componenti di un vettore rispetto a una base definita dai vettori della base canonica

 

VII) Componenti rispetto a una base parametrica

 

VIII) Trovare le componenti di un polinomio rispetto a una base fissata

 

IX) Verificare che un insieme di polinomi è una base e calcolare le componenti di un polinomio

 

X) Coordinate di una matrice rispetto a una base

 

XI) Teorema sull'unicità delle componenti di un vettore rispetto a una base

 

 

Lezione correlata

 
 

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