Esercizi: coordinate rispetto a una base

State leggendo la scheda di esercizi risolti sulle coordinate rispetto a una base. Ciascuno degli esercizi proposti qui di seguito è corredato da uno svolgimento completo, con tutti i calcoli e i commenti del caso. Le tracce inoltre sono elencate in ordine di difficoltà crescente, e ricoprono le varie tipologie di richieste dei corsi universitari di Algebra Lineare.

Per risolvere gli esercizi sul calcolo delle componenti rispetto a una base è necessario conoscere a menadito la definizione di base di uno spazio vettoriale, e possibilmente avere dimestichezza con gli esercizi su dimensione e base di sottospazi vettoriali.

Per ripassare la teoria, e rivedere i metodi pratici per scrivere le coordinate di un vettore rispetto a una base assegnata, potete leggere la lezione dell'omonimo link. ;)

Esercizi risolti sulle coordinate rispetto a una base

I) Dopo aver verificato che i vettori

v_1 = (2,3) ; v_2 = (1,4)

formano una base di R^2, calcolare le componenti del vettore u = (2,6) rispetto a essa.

II) Verificare che i vettori

v_1 = (1,2,−1) ; v_2 = (1,3,2) ; v_3 = (0,1,0)

individuano una base di R^3 e, successivamente, determinare le componenti del vettore u = (−1,1,−8) rispetto a tale base.

III) Le componenti di u rispetto alla base canonica di R^3 sono (−3,4,−4). Calcolare le componenti di u riferite alla base mathcalB = v_1, v_2, v_3, dove

v_1 = (1,2,−1), v_2 = (2,0,1), v_3 = (1,0,1).

IV) Dimostrare che

mathcalB = (0,0,1), (1,2,−1), (1,1,0)

è una base di R^3 e determinare le componenti in mathcalB del vettore u = (1,−1,−1).

V) Dopo aver verificato che

mathcalB = v_1,v_2,v_3 = (1,0,1), (1,0,0), (0,1,−1)

è una base di R^3, calcolare le coordinate di v = (1,1,1) rispetto a mathcalB.

VI) Stabilire se

v_1 = 2e_1−2e_2 ; v_2 = e_2−e_3 ; v_3 = e_1+2e_2−e_3

formano una base di R^3 e, in caso affermativo, calcolare le componenti del vettore w = (−1,2,1) rispetto a essa.

VII) Dopo aver verificato che i vettori

v_1 = (1,−1,−1,1+k) ; v_2 = (1,1,−1,k)

costituiscono una base del sottospazio vettoriale

S = Span(v_1, v_2)

per ogni k ∈ R, calcolare le componenti di u = (0,−2,0,1) rispetto a tale base.

VIII) Sia R_2[x] lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali, e si consideri la sua base

mathcalB = p_1(x), p_2(x), p_3(x) = 1+x, 1+x^2, x+x^2.

Calcolare le coordinate del polinomio q(x) = 1+x+x^2 rispetto a mathcalB.

IX) Dopo aver stabilito che

p_1(x) = 4 ; p_2(x) = −2+5x ; p_3(x) = 1+2x−x^2

formano una base di R_2[x], calcolare le componenti del polinomio

p(x) = 3−x+3x^2

rispetto a essa.

X) Siano A_1,A_2∈ Mat(2,2,R) le matrici

A_1 = [1 1 ; 0 1] ; A_(2) = [−1 1 ; 1 2]

Noto che esse costituiscono una base del sottospazio W = Span(A_1,A_2), verificare che la matrice

A = [−1 5 ; 3 8]

è un elemento di W e determinare le coordinate di A rispetto alla base mathcalB = A_1,A_2.

XI) Sia V uno spazio vettoriale su un campo K di dimensione n e sia mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n una sua base.

Dimostrare che per ogni v ∈ V esiste un'unica n-upla di scalari (a_1, a_2, ..., a_n) ∈ K^n tale che

v = a_1 v_1+a_2 v_2+...+a_n v_n

Svolgimenti e soluzioni

I) Calcolare le componenti di un vettore rispetto a una base di R^2

II) Determinare le coordinate di un vettore rispetto a una base di R^3

III) Dalla base canonica a una base generica

IV) Dimostrare che più vettori formano una base e determinare le componenti di un vettore

V) Coordinate di un vettore rispetto a una base fissata

VI) Componenti di un vettore rispetto a una base definita dai vettori della base canonica

VII) Componenti rispetto a una base parametrica

VIII) Trovare le componenti di un polinomio rispetto a una base fissata

IX) Verificare che un insieme di polinomi è una base e calcolare le componenti di un polinomio

X) Coordinate di una matrice rispetto a una base

XI) Teorema sull'unicità delle componenti di un vettore rispetto a una base

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Lezione correlata

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