Esercizi: ricavare le equazioni cartesiane da un sistema di generatori

Siete pronti per mettervi alla prova con gli esercizi sulla forma cartesiana da sistemi di generatori? Questa pagina raccoglie un elenco di tracce interamente risolte, con svolgimenti completi e dettagliati, e ordinate per livelli di difficoltà crescente.

 

Prima di cominciare con gli esercizi sulle equazioni cartesiane da sistemi di generatori, vi suggeriamo di riordinare le idee e di assicurarvi di aver svolto:

 

- gli esercizi sui sistemi di generatori;

 

- gli esercizi su span e sottospazi generati.

 

I relativi argomenti infatti sono prerequisiti irrinunciabili per comprendere il metodo per estrarre una rappresentazione cartesiana da un sistema di generatori assegnato. :)

 

Esercizi risolti: ricavare la forma cartesiana di un sottospazio dal sistema di generatori

 

I) Siano dati i seguenti vettori di \mathbb{R}^3:

 

\mathbf{u}=(1,-1,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}=(0,-1,1)

 

Calcolare l'equazione cartesiana di \mbox{Span}(\mathbf{u},\mathbf{v}).

 

II) Determinare una rappresentazione cartesiana del sottospazio vettoriale

 

W = <(0,0,-3,1), \ (2,1,-3,1), \ (2,2,0,2)>

 

III) Determinare l'equazione del sottospazio vettoriale

 

W=\mbox{Span}((3,7,-1), \ (8,0,2), \ (5,-7,3))

 

IV) Determinare le equazioni cartesiane del sottospazio di \mathbb{R}^4 generato dai vettori

 

\mathbf{u}=(0,0,2,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}=(0,-1,1,0)

 

V) Determinare, se possibile, le equazioni cartesiane del sottospazio

 

U=<(1,1,0), \ (0,1,1), \ (1,-1,2)>

 

VI) Dato il sottospazio vettoriale

 

U=\mbox{Span}((2,-1,1), \ (3,-1,2))

 

trovarne la rappresentazione cartesiana.

 

VII) Determinare la forma cartesiana del sottospazio

 

S=<(1,0,0,2), \ (0,1,1,0), \ (1,1,1,1)>

 

VIII) Trovare la forma cartesiana del sottospazio L generato dai vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,0,0,1,2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,1,0,0,3)

 

IX) Verificare che i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,0,2,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,1,0,0)

 

sono linearmente indipendenti e determinare le equazioni cartesiane del sottospazio da essi generato.

 

X) Fornire una rappresentazione cartesiana del sottospazio

 

T=\left\{\left(t_1+\frac{1}{2}t_2, \ t_2, \ -\frac{1}{2}t_1+\frac{1}{3}t_2\right) \ | \ t_1, t_2 \in \mathbb{R}\right\}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Equazione cartesiana dello Span di due vettori

 

II) Rappresentazione cartesiana di un sottospazio da un sistema di generatori

 

III) Determinare l'equazione dello Span

 

IV) Equazioni cartesiane di un sottospazio generato da due vettori

 

V) Equazioni cartesiane di un sottospazio di R^3

 

VI) Rappresentazione cartesiana di un sottospazio generato

 

VII) Dalla forma vettoriale a quella cartesiana di un sottospazio

 

VIII) Forma cartesiana del sottospazio generato da due vettori di R^5

 

IX) Verifica della lineare indipendenza ed equazioni del sottospazio generato

 

X) Rappresentazione cartesiana di un sottospazio definito per caratteristica

 

 

Lezione correlata

 
 

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