Esercizi su Span e sottospazi generati
State leggendo la scheda di esercizi risolti su span e sottospazi generati. Le tracce che vi proponiamo qui di seguito sono state scelte in modo da consolidare lo studio della teoria e da coprire i vari tipi di esercizi che si possono affrontare nei corsi universitari di Algebra Lineare.
Attenzione: le nozioni di Span e sottospazio generato da un insieme di vettori sono strettamente correlate ad altri concetti nello studio dell'Algebra Lineare. Prima di procedere con gli esercizi su Span e sottospazi generati, è essenziale:
- avere piena dimestichezza con la nozione di sistema di generatori e, di conseguenza
- saper risolvere gli esercizi sui sistemi di generatori.
Dopo aver concluso, invece, potete proseguire la vostra preparazione con gli esercizi sulle equazioni cartesiane da un sistema di generatori.
Esercizi risolti su Span e sottospazi generati
I) Dati i vettori
scrivere la forma generale di un generico elemento di
.
II) Calcolare la dimensione dello Span dei seguenti vettori senza usare la nozione di base:
III) Dire quale tra i seguenti vettori non appartiene al sottospazio generato da
scegliendo tra le seguenti alternative:
IV) Stabilire se appartiene al sottospazio generato dai vettori
.
V) Spiegare la differenza tra il concetto di Span (o sottospazio generato) e quello di sistema di generatori.
VI) Dati i vettori
stabilire per quali valori del parametro reale , il sottospazio
ha dimensione 2.
VII) Stabilire per quali valori del parametro reale il vettore
appartiene al sottospazio generato dai vettori
e, per tali valori, esprimere come combinazione lineare di
.
VIII) Si dica per quali valori del parametro il vettore
appartiene al sottospazio generato da
IX) Trovare un vettore di norma uguale a 1 che genera lo stesso sottospazio vettoriale di .
X) Sia uno spazio vettoriale su un campo
e siano
. Si dimostri che il sottospazio vettoriale generato da
coincide col sottospazio generato da
.
XI) Stabilire se la matrice
appartiene al sottospazio generato dalle matrici
XII) Determinare i valori del parametro reale tali per cui la matrice
appartiene al sottospazio generato dalle matrici
XIII) Dire se il polinomio
appartiene al sottospazio
dove
Svolgimenti e soluzioni
I) Scrivere un generico vettore dello span di un insieme di vettori
II) Dimensione dello Span di tre vettori senza il concetto di base
III) Dire quale vettore non appartiene al sottospazio generato
IV) Stabilire se un vettore appartiene al sottospazio generato da altri
V) Differenza tra Span e sistema di generatori
VI) Dimensione dello Span al variare del parametro
VII) Valori di un parametro per cui un vettore appartiene al sottospazio generato da altri vettori
VIII) Appartenenza di un vettore parametrico a un sottospazio generato da vettori parametrici
IX) Vettore di norma 1 che genera uno stesso spazio vettoriale
X) Dimostrare l'uguaglianza tra due sottospazi generati
XI) Appartenenza di una matrice al sottospazio generato da tre matrici
XII) Valori di un parametro per cui una matrice appartiene al sottospazio generato da altre
XIII) Esercizio sullo Span di un insieme di polinomi
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