Esercizi su Span e sottospazi generati

State leggendo la scheda di esercizi risolti su span e sottospazi generati. Le tracce che vi proponiamo qui di seguito sono state scelte in modo da consolidare lo studio della teoria e da coprire i vari tipi di esercizi che si possono affrontare nei corsi universitari di Algebra Lineare.

Attenzione: le nozioni di Span e sottospazio generato da un insieme di vettori sono strettamente correlate ad altri concetti nello studio dell'Algebra Lineare. Prima di procedere con gli esercizi su Span e sottospazi generati, è essenziale:

- avere piena dimestichezza con la nozione di sistema di generatori e, di conseguenza

- saper risolvere gli esercizi sui sistemi di generatori.

Dopo aver concluso, invece, potete proseguire la vostra preparazione con gli esercizi sulle equazioni cartesiane da un sistema di generatori.

Esercizi risolti su Span e sottospazi generati

I) Dati i vettori

scrivere la forma generale di un generico elemento di

II) Calcolare la dimensione dello Span dei seguenti vettori senza usare la nozione di base:

III) Dire quale tra i seguenti vettori non appartiene al sottospazio generato da

scegliendo tra le seguenti alternative:

(a) 0 = (0,0,0,0) ; (b) w_1 = (2,-3,1,2) ; (c) w_2 = (-7,4,-1,0) ; (d) w_3 = (1,0,4,8)

IV) Stabilire se appartiene al sottospazio generato dai vettori

V) Spiegare la differenza tra il concetto di Span (o sottospazio generato) e quello di sistema di generatori.

VI) Dati i vettori

stabilire per quali valori del parametro reale , il sottospazio

ha dimensione 2.

VII) Stabilire per quali valori del parametro reale il vettore appartiene al sottospazio generato dai vettori

e, per tali valori, esprimere come combinazione lineare di .

VIII) Si dica per quali valori del parametro il vettore appartiene al sottospazio generato da

IX) Trovare un vettore di norma uguale a 1 che genera lo stesso sottospazio vettoriale di .

X) Sia uno spazio vettoriale su un campo e siano . Si dimostri che il sottospazio vettoriale generato da coincide col sottospazio generato da .

XI) Stabilire se la matrice

appartiene al sottospazio generato dalle matrici

XII) Determinare i valori del parametro reale tali per cui la matrice

appartiene al sottospazio generato dalle matrici

A_1 = [2 0 ; 0 k] ; A_2 = [0 1 ; 0 0] ; A_3 = [0 0 ; 1 0] ; A_4 = [k 0 ; 0 2]

XIII) Dire se il polinomio

appartiene al sottospazio

dove

Svolgimenti e soluzioni

I) Scrivere un generico vettore dello span di un insieme di vettori

II) Dimensione dello Span di tre vettori senza il concetto di base

III) Dire quale vettore non appartiene al sottospazio generato

IV) Stabilire se un vettore appartiene al sottospazio generato da altri

V) Differenza tra Span e sistema di generatori

VI) Dimensione dello Span al variare del parametro

VII) Valori di un parametro per cui un vettore appartiene al sottospazio generato da altri vettori

VIII) Appartenenza di un vettore parametrico a un sottospazio generato da vettori parametrici

IX) Vettore di norma 1 che genera uno stesso spazio vettoriale

X) Dimostrare l'uguaglianza tra due sottospazi generati

XI) Appartenenza di una matrice al sottospazio generato da tre matrici

XII) Valori di un parametro per cui una matrice appartiene al sottospazio generato da altre

XIII) Esercizio sullo Span di un insieme di polinomi

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