Esercizi su Span e sottospazi generati

State leggendo la scheda di esercizi risolti su span e sottospazi generati. Le tracce che vi proponiamo qui di seguito sono state scelte in modo da consolidare lo studio della teoria e da coprire i vari tipi di esercizi che si possono affrontare nei corsi universitari di Algebra Lineare.

 

Attenzione: le nozioni di Span e sottospazio generato da un insieme di vettori sono strettamente correlate ad altri concetti nello studio dell'Algebra Lineare. Prima di procedere con gli esercizi su Span e sottospazi generati, è essenziale:

 

- avere piena dimestichezza con la nozione di sistema di generatori e, di conseguenza

 

- saper risolvere gli esercizi sui sistemi di generatori.

 

Dopo aver concluso, invece, potete proseguire la vostra preparazione con gli esercizi sulle equazioni cartesiane da un sistema di generatori.

 

Esercizi risolti su Span e sottospazi generati

 

I) Dati i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,0,2), \ \mathbf{v}_2=(0,-1,0), \ \mathbf{v}_3=(2,-2,4)

 

scrivere la forma generale di un generico elemento di

 

\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3).

 

II) Calcolare la dimensione dello Span dei seguenti vettori senza usare la nozione di base:

 

\mathbf{v}=(1,0,3) \ \ ; \ \ \mathbf{u}=(4,0,5) \ \ ; \ \ \mathbf{w}=(-2,5,1)

 

III) Dire quale tra i seguenti vettori non appartiene al sottospazio generato da

 

\mathbf{v}_1=(7,-4,1,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(-5,1,0,2)

 

scegliendo tra le seguenti alternative:

 

\\ (a) \ \mathbf{0}=(0,0,0,0) \\ \\ (b) \ \mathbf{w}_1=(2,-3,1,2) \\ \\ (c) \ \mathbf{w}_2(-7,4,-1,0) \\ \\ (d) \ \mathbf{w}_3=(1,0,4,8)

 

IV) Stabilire se \mathbf{w}=(2,4,3) appartiene al sottospazio generato dai vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,3,2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,2,1).

 

V) Spiegare la differenza tra il concetto di Span (o sottospazio generato) e quello di sistema di generatori.

 

VI) Dati i vettori

 

\mathbf{u}=(-1,h,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}=(h,-1,8) \ \ ; \ \ \mathbf{w}=(0,1,h)

 

stabilire per quali valori del parametro reale h, il sottospazio

 

L=\mbox{Span}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})

 

ha dimensione 2.

 

VII) Stabilire per quali valori del parametro reale k il vettore \mathbf{w}=(k+5,2,1) appartiene al sottospazio generato dai vettori

 

\mathbf{v}_1=(3,1,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(6,2,3)

 

e, per tali valori, esprimere \mathbf{w} come combinazione lineare di \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2.

 

VIII) Si dica per quali valori del parametro k il vettore \mathbf{w}=(2k,0,2) appartiene al sottospazio generato da

 

\mathbf{v}_1=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,2,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,k,k-1)

 

IX) Trovare un vettore di norma uguale a 1 che genera lo stesso sottospazio vettoriale di \mathbf{v}=(1,0,-1,0).

 

X) Sia V uno spazio vettoriale su un campo \mathbb{K} e siano \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V. Si dimostri che il sottospazio vettoriale generato da \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} coincide col sottospazio generato da \mathbf{u}+\mathbf{v}, \ \mathbf{u}-\mathbf{v}+\mathbf{w}, \ \mathbf{u}+\mathbf{w}.

 

XI) Stabilire se la matrice

 

A=\begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix}

 

appartiene al sottospazio generato dalle matrici

 

B=\begin{pmatrix} 0&5 \\ -1&0\end{pmatrix} \ \ ; \ \ C=\begin{pmatrix}3&-2 \\ 1&1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ D=\begin{pmatrix}4&2 \\ 3&-1\end{pmatrix}

 

XII) Determinare i valori del parametro reale k tali per cui la matrice

 

B=\begin{pmatrix}2+k & 2k \\ 3k & 0\end{pmatrix}

 

appartiene al sottospazio S generato dalle matrici

 

\\ A_1 = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ A_2 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ A_4 = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}

 

XIII) Dire se il polinomio

 

q(x)=1-x+2x^2-3x^3

 

appartiene al sottospazio

 

V=\mbox{Span}(p_1(x), p_2(x))

 

dove

 

p_1(x)=1-3x^3 \ \ ; \ \ p_2(x)=x-2x^2

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Scrivere un generico vettore dello span di un insieme di vettori

 

II) Dimensione dello Span di tre vettori senza il concetto di base

 

III) Dire quale vettore non appartiene al sottospazio generato

 

IV) Stabilire se un vettore appartiene al sottospazio generato da altri

 

V) Differenza tra Span e sistema di generatori

 

VI) Dimensione dello Span al variare del parametro

 

VII) Valori di un parametro per cui un vettore appartiene al sottospazio generato da altri vettori

 

VIII) Appartenenza di un vettore parametrico a un sottospazio generato da vettori parametrici

 

IX) Vettore di norma 1 che genera uno stesso spazio vettoriale

 

X) Dimostrare l'uguaglianza tra due sottospazi generati

 

XI) Appartenenza di una matrice al sottospazio generato da tre matrici

 

XII) Valori di un parametro per cui una matrice appartiene al sottospazio generato da altre

 

XIII) Esercizio sullo Span di un insieme di polinomi

 

 

Lezione correlata

 
 

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