Esercizi sui sistemi di generatori

Eccoci alle prese con la scheda di esercizi risolti sui sistemi di generatori. Gli esercizi presenti in questa selezione sono svolti minuziosamente dal primo all'ultimo passaggio, ricoprono le varie tipologie di tracce dei corsi universitari di Algebra Lineare e sono proposti in ordine di difficoltà crescente.

 

Dopo aver svolto gli esercizi sui sistemi di generatori vi raccomandiamo di proseguire l'allenamento seguendo lo sviluppo naturale della teoria, e dunque di cimentarvi con:

 

- gli esercizi su span e sottospazi generati;

 

- gli esercizi sulle equazioni cartesiane da sistemi di generatori.

 

Buon lavoro! E per chi volesse rivedere la definizione, diversi esempi con vettori, polinomi e matrici, e alcuni esercizi guida commentati nel dettaglio, rimandiamo alla lezione sui sistemi di generatori.

 

Esercizi risolti sui sistemi di generatori

 

I) Si consideri, in \mathbb{R}^3 il seguente insieme di vettori

 

\{(1,2,0), \ (2,5,-2)\}

 

e si dica se è un sistema di generatori.

 

II) Verificare che i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,2,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,-1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,2,3)

 

costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^3.

 

III) Stabilire se i vettori:

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,-1,0,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(1,0,0,0) \\ \\ \mathbf{v}_3=(0,1,0,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(1,-1,0,2)

 

individuano un sistema di generatori di \mathbb{R}^4.

 

IV) Dimostrare che i vettori

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,1,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(0,1,-a) \\ \\ \mathbf{v}_3=(-a,0,1-a^2) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(-a,1,a)

 

costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 per ogni a \in \mathbb{R}.

 

V) Determinare i valori reali del parametro k per cui

 

\mathbf{u}_1=(1,k,k^2) \ \ ; \ \ \mathbf{u}_2=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{u}_3=(-1,-1,k^2)

 

formano un sistema di generatori di \mathbb{R}^3.

 

VI) Rispondere alle seguenti domande giustificando le risposte e fornendo un esempio.

 

1) Un insieme di generatori è linearmente dipendente?

 

2) Un insieme di generatori è linearmente indipendente?

 

3) Un insieme di vettori linearmente indipendente è un sistema di generatori?

 

VII) Dire, motivando le risposte, se le seguenti affermazioni sono vere o false.

 

Sia X un insieme di generatori di uno spazio vettoriale V.

 

1) Se Y \subset X allora Y genera V.

 

2) Se X \subset Y \subset V allora Y genera V.

 

VIII) Stabilire, giustificando la risposta, se i polinomi

 

\\ p_1(x)=1-4x \\ \\ p_2(x)=-3+13x+x^2 \\ \\ p_3(x)=1-2x-x^2

 

costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}_2[x].

 

IX) Calcolare i valori reali del parametro k per cui i polinomi

 

p_1(x)=k-x \ \ \ ; \ \ \ p_2(x)=2-k^2+kx

 

generano lo spazio dei polinomi di grado al più 1 a coefficienti reali.

 

X) Le matrici

 

\\ A=\begin{pmatrix}1&-2 \\ 1&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&0 \\ 2&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}2&0 \\ 1&0\end{pmatrix}

 

formano un insieme di generatori di Mat(2,2,\mathbb{R})?

 

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Stabilire se un insieme di 2 vettori è un sistema di generatori di R^3

 

II) Verificare che tre vettori formano un sistema di generatori

 

III) Stabilire se alcuni vettori costituiscono un sistema di generatori di R^4

 

IV) Verificare che un insieme di vettori è un insieme di generatori per ogni valore del parametro

 

V) Valori di un parametro per cui un insieme di vettori è un sistema di generatori

 

VI) Quesiti su sistemi di generatori e lineare indipendenza tra vettori

 

VII) Quesiti vero o falso sui sistemi di generatori

 

VIII) Sistema di generatori per lo spazio di polinomi di grado 2

 

IX) Per quali valori di un parametro due polinomi individuano un sistema di generatori

 

X) Stabilire se un insieme di matrici è un insieme di generatori

 

 

Lezione correlata

 
 

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