Esercizi su vettori e operazioni tra vettori

A partire da questa scheda potete consultare un'ampia selezione di esercizi svolti sui vettori, nonché in particolare di esercizi risolti sulle operazioni tra vettori. Tutti gli esercizi in elenco sono corredati da svolgimenti completi e dettagliati, fino all'ultimo calcolo, e coprono una gamma di richieste che consente di avere un quadro completo sull'argomento... Per quanto pur sempre a livello introduttivo. ;)

 

A seguire potete dare un'occhiata alle schede di esercizi risolti sulle operazioni tra vettori leggermente più avanzate:

 

- esercizi su prodotto scalare e norma;

 

- esercizi sul prodotto vettoriale;

 

- esercizi sul prodotto misto.

 

Per rivedere le definizioni e le caratteristiche dei vettori, tutte le proprietà e i vari metodi di calcolo delle operazioni tra vettori, vi rimandiamo alle rispettive lezioni. ;)

 

Esercizi risolti su vettori e operazioni tra vettori

 

 

I) Sia \vec{v}=(v_x, v_y) un vettore del piano.

 

Quali valori devono assumere v_x, v_y affinché \vec{v} abbia modulo \frac{1}{2} e formi un angolo di 60° con l'asse delle ascisse?

 

II) Senza usare la formula dell'angolo tra vettori, calcolare l'ampiezza dell'angolo che il vettore

 

\vec{v}=\vec{i}+\sqrt{3}\vec{j}

 

forma con l'asse y.

 

III) Determinare le componenti del vettore \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) sapendo che:

 

- il modulo di \vec{v} è 4;

 

- l'ampiezza dell'angolo tra \vec{v} e l'asse z è di 30°;

 

- la proiezione ortogonale di \vec{v} sul piano [xy] forma un angolo di 60° con l'asse x.

 

IV) Dati i punti

 

A(0,1,2) \ \ ; \ \ B(-1,4,3) \ \ ; \ \ C(3,6,1)

 

calcolare le componenti dei vettori \overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}, \ \overrightarrow{CB}.

 

V) Dati il punto A(-2,5) e il vettore \overrightarrow{AB}=(2,6) trovare le coordinate cartesiane del punto B.

 

VI) Determinare la rappresentazione cartesiana di \overrightarrow{AB} sapendo che:

 

\overrightarrow{OA}=5\vec{i}-3\vec{j} \ \ \ ; \ \ \ \overrightarrow{OB}=3 \vec{i}+4\vec{j}

 

VII) Siano A,B,C,D i vertici di un quadrato di centro O. Determinare la somma dei vettori \overrightarrow{OA}, \ \overrightarrow{OB}, \ \overrightarrow{OC}, \ \overrightarrow{OD}.

 

VIII) I punti A(0,2,3,4) e B(2,-1,5,3) definiscono il vettore \overrightarrow{AB}. Calcolare le componenti di un versore opposto ad \overrightarrow{AB}.

 

IX) Calcolare per via algebrica e per via geometrica la somma dei vettori

 

\vec{v}=(1,-3) \ \ ; \ \ \vec{u}=(2,4) \ \ ; \ \ \vec{w}=(-2,3)

 

X) Determinare le componenti e il modulo del vettore -5\vec{u}+4\vec{v} sapendo che

 

\vec{u}=-2\vec{i}+3\vec{j}-3\vec{k} \ \ ; \ \ \vec{v}=2\vec{i}+6\vec{j}+\vec{k}

 

XI) Siano dati i vettori

 

\vec{u}=(5,-2,3), \ \vec{v}=(0,1,4), \ \vec{w}=(1,1,0).

 

Determinare le componenti del vettore

 

2 \vec{u}-3\vec{v}+(\vec{u}-4\vec{w})

 

XII) Detti M,N i punti medi dei lati AB, AC di un triangolo, dimostrare, mediante operazioni sui vettori, che

 

\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.

 

XIII) Siano A,B,C i punti dello spazio di coordinate

 

A(1,1,3) \ \ ; \ \ B(1,3,7) \ \ ; \ \ C(4,5,3).

 

Considerando questi punti come vertici del parallelogramma A,B,C,D di diagonali AD e BC, determinare le coordinate del vertice D.

 

XIV) Assegnati i punti

 

\\ A(k, 2, 2) \ \ ; \ \ B(2k, 3, k-2) \\ \\ C(3k-1, \ k^2, \ 4) \ \ ; \ \ D(5k-1, \ k^2+2, \ 8)

 

determinare, se esistono, i valori reali del parametro k tali che i vettori \overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD} abbiano la stessa direzione.

 

XV) Siano dati i punti

 

A(k-2, \ 3k, \ 2k-1) \ \ \ ; \ \ \ B(-1, \ 3k, \ 0).

 

Per quali valori del parametro k il vettore \overrightarrow{BA} è l'opposto del vettore \vec{v}=(1,0,1)?

 

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolo delle componenti di un vettore nel piano

 

II) Angolo che un vettore del piano forma con l'asse y

 

III) Calcolare le componenti di un vettore dello spazio

 

IV) Componenti di più vettori di cui sono noti gli estremi

 

V) Calcolare l'estremo finale di un vettore di cui è noto il punto di applicazione

 

VI) Rappresentazione cartesiana di un vettore del piano

 

VII) Somma dei vettori compresi tra il centro e i vertici di un quadrato

 

VIII) Versore opposto a un vettore di cui sono noti gli estremi

 

IX) Somma di tre vettori per via algebrica e per via geometrica

 

X) Calcolare le componenti e il modulo di un vettore dello spazio

 

XI) Risolvere un'espressione vettoriale

 

XII) Dimostrare una proprietà dei triangoli con i vettori

 

XIII) Coordinate del quarto vertice di un parallelogramma nello spazio

 

XIV) Valori di un parametro per cui due vettori hanno la stessa direzione

 

XV) Trovare i valori di un parametro per cui due vettori sono opposti

 

 

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