Esercizi sugli spazi vettoriali

Benvenuti nella scheda di esercizi risolti sul concetto di spazio vettoriale: potete provare a risolvere gli esercizi proposti in totale autonomia, per poi confrontare i vostri svolgimenti con quelli delle rispettive soluzioni.

 

Gli esercizi sugli spazi vettoriali che proponiamo in questa pagina riguardano unicamente la nozione di spazio vettoriale, che abbiamo presentato e analizzato per filo e per segno nella lezione dell'omonimo link.

 

In altri termini, si richiede di ricordare le proprietà che caratterizzano uno spazio vettoriale, in accordo con la definizione, e di stabilire se gli insiemi proposti le soddisfano oppure no. Come si intuisce facilmente si tratta di una scheda di esercizi introduttiva, e chi si sentisse già sufficientemente sicuro può provare a cimentarsi con gli esercizi sulla verifica per sottospazi vettoriali.

 

Esercizi risolti sugli spazi vettoriali

 

 

I) Dimostrare che l'insieme V=\{\mathbf{0}\} è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto alle operazioni di somma tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare.

 

II) Dimostrare che \mathbb{R}^3 è uno spazio vettoriale su \mathbb{R}.

 

III) Verificare che \mathbb{R}^3 non è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto alle seguenti operazioni:

 

\\ (x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1, \ x_2+y_2, \ x_3+y_3) \\ \\ \lambda \cdot (x_1,x_2,x_3) = (\lambda x_1, \ \lambda x_2, \ 0)

 

IV) Stabilire se l'insieme \mathbb{R}^2 delle coppie ordinate di numeri reali è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni:

 

\\ (x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1y_2, \ y_1x_2) \\ \\ \lambda(x, y)= \left(x^{\lambda}, \ y^{\lambda}\right)

 

V) Sia \mathbb{R}^+ l'insieme dei numeri reali positivi e definiamo su \mathbb{R}^+ le seguenti operazioni:

 

\\ x+y=xy \\ \\ \lambda \cdot x = x^{\lambda}

 

Verificare che \mathbb{R}^+ è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto a queste operazioni.

 

VI) Dimostrare che Mat(2,2,\mathbb{R}), dotato delle usuali operazioni di somma tra matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare, è uno spazio vettoriale su \mathbb{R}.

 

VII) Verificare che l'insieme delle matrici triangolari superiori, a elementi reali e di ordine 3, è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} relativamente alle operazioni di somma tra matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare.

 

VIII) Dire se l'insieme \mathbb{R}_2[x] dotato delle operazioni di somma tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare è uno spazio vettoriale su \mathbb{R}.

 

IX) Dimostrare che l'insieme \mathbb{R}_1[x] munito delle seguenti operazioni di somma e prodotto non è uno spazio vettoriale su \mathbb{R}.

 

\\ (a_1+b_1x) \oplus (a_2+b_2x) = a_1b_2+(b_1a_2)x \\ \\ \lambda \cdot (a+bx) = \lambda a + \lambda b x

 

X) Dimostrare che l'insieme

 

C[a,b]=\{f:[a,b] \to \mathbb{R} \ | \ f \mbox{ continua}\}

 

è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto alle seguenti operazioni:

 

\\ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \\ \\ (\lambda f)(x)=\lambda f(x)

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Spazio vettoriale nullo

 

II) Dimostrare che R3 è uno spazio vettoriale su R

 

III) Verificare che un insieme non è uno spazio vettoriale

 

IV) Stabilire se un insieme di coppie ordinate è uno spazio vettoriale

 

V) Verificare che l'insieme dei numeri reali positivi è uno spazio vettoriale

 

VI) Spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2

 

VII) Spazio vettoriale delle matrici triangolari superiori

 

VIII) Dire se R_2[x] è uno spazio vettoriale su R

 

IX) Dimostrare che un insieme di polinomi non è uno spazio vettoriale

 

X) Spazio vettoriale delle funzioni continue

 

 

Lezione correlata

 
 

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