Esercizi sul teorema di Rouché-Capelli

Benvenuti nella scheda di esercizi risolti sul teorema di Rouché-Capelli e sullo studio della compatibilità dei sistemi lineari! A partire da questa pagina potete consultare un elenco di esercizi, di difficoltà via via crescente, in cui è richiesto di stabilire se i sistemi lineari proposti ammettono soluzioni e, in caso affermativo, di quantificarle.

 

Gli esercizi svolti sul teorema di Rouché-Capelli vivono a metà strada tra gli esercizi sui metodi di risoluzione dei sistemi lineari e gli esercizi sui sistemi lineari parametrici.

 

Più precisamente, dopo aver visto quali sono le principali tecniche che permettono di risolvere i sistemi lineari si introduce il teorema di Rouché-Capelli, il cui scopo prevede di studiare la compatibilità (o risolubilità) dei sistemi lineari analizzando opportunamente le matrici associate.

 

Nel caso di sistemi con poche equazioni e poche incognite, spesso è più conveniente procedere direttamente con la risoluzione; ma nel caso di sistemi con parecchie equazioni e/o incognite, oppure se siamo unicamente interessati alla risolubilità di un sistema (per i motivi più disparati), il teorema fornisce un metodo comodo ed estremamente pratico.

 

Esercizi risolti sul teorema di Rouché-Capelli

 

I) Studiare la compatibilità del sistema lineare 3x3

 

\begin{cases}x_1-x_2+x_3=1 \\ x_1+x_2=4 \\ 2x_1+2x_2+2x_3=9\end{cases}

 

senza risolverlo.

 

II) Stabilire, senza risolverlo, se il sistema

 

\begin{cases}2x-y+z=2 \\ x+2y+t=0 \\ x-3y+z-t=3\end{cases}

 

ammette soluzioni.

 

III) Studiare la compatibilità e calcolare le soluzioni del sistema

 

\begin{cases} x+4y+2z-2t=0 \\ -4x+2y+z-t=0 \\ 3x-2y-z+t=0 \\ x+6y+3z-3t=0\end{cases}

 

IV) Stabilire se il seguente sistema è compatibile, e qualora lo fosse determinarne le soluzioni col metodo di Cramer

 

\begin{cases}x_1+x_2-x_3=1 \\ 2x_1+2x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+2x_3=-1\end{cases}

 

V) Studiare la compatibilità del sistema

 

\begin{cases}x_1+2x_4=1 \\ x_1+x_2+3x_3+2x_4=1 \\ 2x_1+x_2+3x_3+4x_4=2 \end{cases}

 

e calcolarne le soluzioni con il metodo di eliminazione gaussiana.

 

VI) Dopo aver verificato che il sistema

 

\begin{cases}4x+3y-z=2 \\ 4x-2y-z=0\end{cases}

 

ammette soluzioni, determinarle col metodo di Cramer.

 

VII) Studiare, col teorema di Rouché-Capelli, la compatibilità del sistema parametrico

 

\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=-a \\ 2x_1+x_2-3x_3-x_4=4a \\ 3x_1-15x_3-6x_4=18a-2\end{cases}

 

VIII) Discutere il sistema

 

\begin{cases}x+hy+z=0 \\ x+2hy=-1 \\ x+2hy+(h+1)z=0\end{cases}

 

al variare del parametro h \in \mathbb{R}.

 

IX) Siano

 

A=\begin{pmatrix}k&1&0 \\ -1&k^2&2\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}

 

Comporre e studiare la compatibilità del sistema lineare

 

A \mathbf{x} = \mathbf{b}

 

al variare dei valori assunti dal parametro k.

 

X) Discutere, al variare dei parametri h,k il sistema lineare

 

\begin{cases}x+hy=1 \\ x-y=k\end{cases}

 

XI) Dato il sistema

 

S: \ \begin{cases}3x-y+z=0 \\ x-2y-3z=0 \end{cases}

 

(a) aggiungere una terza equazione in modo da ottenere un sistema S_1 che ammetta come unica soluzione quella nulla;

 

(b) aggiungere una terza equazione in modo da ottenere un sistema S_2 con \infty^1 soluzioni;

 

(c) è possibile aggiungere una terza equazione per avere \infty^2 soluzioni?

 

XII) Scrivere un sistema lineare omogeneo di 2 equazioni in 3 incognite che ammetta \infty^1 soluzioni e facendo in modo che una di esse sia (3,2,1).

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Stabilire se un sistema 3x3 è compatibile

 

II) Studio della compatibilità di un sistema rettangolare

 

III) Studiare e risolvere un sistema lineare omogeneo

 

IV) Studio della compatibilità e risoluzione di un sistema 3x3 con Cramer

 

V) Stabilire se un sistema è compatibile e risolverlo con Gauss

 

VI) Verificare che un sistema 2x3 ammette soluzioni e risolverlo con Cramer

 

VII) Applicare Rouché Capelli a un sistema parametrico

 

VIII) Studio della compatibilità di un sistema parametrico con Rouché Capelli

 

IX) Comporre e discutere un sistema lineare parametrico con Rouché-Capelli

 

X) Studiare con Rouché Capelli un sistema con due parametri

 

XI) Aggiungere un'equazione per variare le soluzioni di un sistema

 

XII) Scrivere un sistema lineare note le soluzioni

 

 

Lezione correlata 

 
 

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