Esercizi sull'eliminazione gaussiana

Pronti per mettervi alla prova con la raccolta di esercizi sull'eliminazione gaussiana? In questa scheda vi proponiamo una selezione di esercizi svolti sul metodo di Gauss per ridurre le matrici a gradini, risolti in tutti i passaggi e ordinati dal più semplice al più avanzato.

 

Il metodo di eliminazione gaussiana è molto importante nel contesto di matrici e vettori, in quanto fornisce una tecnica con svariate implicazioni teoriche e pratiche; su tutte, la risoluzione dei sistemi lineari. Raccomandiamo in particolare attenzione e prudenza, perché il metodo di Gauss per ridurre le matrici a scala consiste in un algoritmo piuttosto meccanico, ma altrettanto utile nella risoluzione degli esercizi più avanzati.

 

Per la spiegazione sul metodo di eliminazione gaussiana, per la teoria e per i primi esempi guidati potete leggere la lezione correlata. ;)

 

Esercizi risolti sull'eliminazione gaussiana

 

 

I) Ridurre a scala la seguente matrice con il metodo di eliminazione gaussiana

 

A=\begin{pmatrix}1&-1&3 \\ -1&1&0 \\ 2&4&1\end{pmatrix}

 

II) Data la matrice

 

A=\begin{pmatrix}0&0&2&3 \\ 1&0&-1&-1 \\ 2&0&-2&-4 \\ -3&0&1&0\end{pmatrix}

 

ridurla in una matrice a gradini con il metodo di Gauss.

 

III) Stabilire se la matrice

 

A=\begin{pmatrix}1&-3&-5&0 \\ -1&4&3&1\end{pmatrix}

 

è ridotta a scala, e se non lo è ridurla.

 

IV) Ridurre a scala le matrici

 

A=\begin{pmatrix}1&2&0&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ -4\end{pmatrix}

 

V) Riduzione a scala con pivot 1

 

A=\begin{pmatrix}1&2&-3&8 \\ -2&2&1&3 \\ 3&-2&8&9\end{pmatrix}

 

VI) Data la matrice a elementi complessi

 

A=\begin{pmatrix}\imath && 2 && |3+4\imath| \\ \\ \imath^6 && 2\imath && \overline{1-5\imath} \\ \\ 1+\imath && -\imath^2 && 7\imath\end{pmatrix}

 

ridurla in una matrice a gradini con l'algoritmo di Gauss.

 

VII) Date le matrici

 

A=\begin{pmatrix}8&9 \\ 4&6 \\ 2&3\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}3 && -1 && \dfrac{5}{2} && 1 \\ \\ -2 && \dfrac{2}{3} && -\dfrac{5}{3} && 0 \end{pmatrix}

 

stabilire se AB è ridotta a scala, e qualora non lo fosse ridurla.

 

VIII) Siano date le matrici

 

\\ A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 4 \\ -13 & 8 & 6 \\ 2 & 5 & -7\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}1 & 2 & -5\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}

 

Calcolare gli elementi della matrice

 

A+BC-2D^2+7\mbox{Id}_3

 

e, qualora non sia ridotta a scala, ridurla in una matrice a gradini col metodo di Gauss.

 

IX) Calcolare la forma a gradini ridotta della matrice

 

A=\begin{pmatrix}1&1&1&1 \\ 3&-1 & -1 & 4 \\ 1&5&5&-1\end{pmatrix}

 

X) Trasformare la matrice parametrica

 

A_h=\begin{pmatrix} h&-h^2&1+h&h^2 \\ 2&-3h&h&2h \\ 1&-2h&1&h\end{pmatrix}

 

in una matrice a gradini.

 
 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Riduzione a scala di una matrice quadrata

 

II) Ridurre a scala una matrice 4x4 con una colonna nulla

 

III) Stabilire se una matrice è ridotta a scala

 

IV) Come si riducono a scala una matrice riga e una matrice colonna

 

V) Trasformare la seguente matrice in una matrice a gradini con pivot 1

 

VI) Ridurre una matrice a elementi complessi con eliminazione gaussiana

 

VII) Riduzione a scala di un prodotto tra matrici per eliminazione gaussiana

 

VIII) Espressione matriciale da ridurre a scala con Gauss

 

IX) Forma a gradini ridotta di una matrice

 

X) Eliminazione di Gauss su matrici parametriche

 

 

Lezione correlata

 
 

Tags: esercizi svolti sul metodo di eliminazione gaussiana e sulla riduzione a scalini di matrici con l'algoritmo di Gauss.