Esercizi sulle operazioni tra matrici

State leggendo la scheda di esercizi risolti sulle operazioni tra matrici, vale a dire uno degli argomenti base su cui si fonda lo studio (teorico e pratico) dell'Algebra Lineare. In quanto tale, è importante fare sin da subito allenamento in modo da prendere confidenza con i vari tipi di operazioni, e imparare a svolgerle con disinvoltura.

 

Gli esercizi sulle operazioni tra matrici che proponiamo in questa raccolta spaziano su vari livelli di difficoltà (in ordine crescente) e sono tutti svolti nel dettaglio. Tra di essi vi sono esercizi specifici sulla somma tra matrici, sul prodotto per uno scalare, sul prodotto riga per colonna e sulle potenze di matrici, ed esercizi misti che coinvolgono lo sviluppo di espressioni con matrici.

 

Per le definizioni, le regole di calcolo e semplici esempi commentati vi rimandiamo alle lezioni dedicate alle varie operazioni. ;)

 

Esercizi risolti sulle operazioni tra matrici

 

 

I) Date le matrici

 

\\ A=\begin{pmatrix}1&-1&3 \\ 0&2&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&5 \\ 7&2 \\ -1&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}0&-4 \\ -6&3 \\ 1&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}4&1&-2 \\ 2&0&1\end{pmatrix}

 

determinare tutte le possibili somme a due a due.

 

II) Calcolare la somma A+B, dove

 

\\ A=\begin{pmatrix}4+\imath & \imath & 0 \\ 1+\imath & 7-3\imath & 2-9\imath \\ -1+2\imath & 11+3\imath & -\imath\end{pmatrix} \\ \\ \\ B = \begin{pmatrix}5\imath & 0 & 1-\imath \\ -2-\imath & 3\imath & 1+\imath \\ 1-\imath & -3+2\imath & 5+2\imath\end{pmatrix}

 

III) Siano

 

\\ A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 2&3 \\ 1&0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&-1 \\ 1&3 \\ 2&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}5&1 \\ 1&-6 \\ -1&3\end{pmatrix}

 

Determinare gli elementi della matrice 4A+3B+2C.

 

IV) Calcolare la moltiplicazione tra le matrici

 

A=\begin{pmatrix}0&1&-2 \\ 0&0&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&0 \\ -1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}

 

V) Date le matrici

 

\\ A=\begin{pmatrix}2&3&-1 \\ 1&2&0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}3&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&1&0\end{pmatrix}

 

determinare tutti i possibili prodotti riga per colonna, a due a due.

 

VI) Determinare il prodotto AB, con

 

\\ A=\begin{pmatrix}1+\imath & & \imath & & 0 & & \overline{3+2\imath} \\ \\ -\imath & & \overline{-1-3\imath} & & 7\imath & & 6\imath\end{pmatrix} \\ \\ \\ B=\begin{pmatrix}2 & & 4\imath \\ \\ -3\imath & & 0 \\ \\ \overline{1-\imath} & & -2\imath \\ \\ 5-\imath & & \overline{2+\imath}\end{pmatrix}

 

VII) Stabilire se il prodotto tra le seguenti matrici è commutativo

 

A=\begin{pmatrix}1&0 \\ 1&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&1 \\ 0&1\end{pmatrix}

 

VIII) Sia

 

B=\begin{pmatrix}1&0 \\ 1&1\end{pmatrix}

 

Trovare l'espressione generale delle matrici di ordine 2 a coefficienti reali che commutano con B.

 

IX) Stabilire per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} il prodotto matriciale tra A,B è commutativo

 

A=\begin{pmatrix}1&k \\ -1&0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}2&-1 \\ k&3\end{pmatrix} 

 

X) Data la matrice

 

A=\begin{pmatrix}k&1&0 \\ 1&-k&0 \\ k&0&-1\end{pmatrix}

 

trovare i valori del parametro k tali che A^2=\mbox{Id}_3

 

XI) Considerate le matrici

 

A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 1&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&1 \\ 1&2\end{pmatrix}

 

calcolare (A+B)^2 e verificare che (A+B)^2 \neq A^2+2AB+B^2

 

XII) Calcolare il cubo della matrice

 

A=\begin{pmatrix}0&1&1 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0\end{pmatrix}

 

XIII) Date le matrici

 

\\ A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 3&4\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&0&-1&3 \\ 2&-1&1&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}1&2 \\ 7&3 \\ 2&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

 

calcolare la matrice risultante dall'espressione A+BC-3\mbox{Id}_2.

 

XIV) Siano

 

\\ A=\begin{pmatrix}1&0&2 \\ -1&1&0 \\ 0&2&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}3 & -2 & 2\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&-3\end{pmatrix}

 

Calcolare gli elementi della matrice A^2+BC-D^4.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare tutte le possibili somme tra quattro matrici

 

II) Somma tra matrici a elementi complessi

 

III) Somma di tre matrici moltiplicate per uno scalare

 

IV) Esercizio sulla moltiplicazione tra matrici

 

V) Possibili prodotti di matrici quadrate e rettangolari

 

VI) Prodotto tra matrici a elementi complessi

 

VII) Stabilire se il prodotto di due matrici è commutativo

 

VIII) Matrice che commuta con un'altra

 

IX) Prodotto di matrici parametriche

 

X) Valori di un parametro tali che il quadrato di una matrice sia l'identità

 

XI) Quadrato della somma di matrici

 

XII) Cubo di una matrice

 

XIII) Espressione con matrici

 

XIV) Espressione di matrici con potenze

 

 

Lezione correlata

 
 

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