Esercizi sulle operazioni tra matrici

State leggendo la scheda di esercizi risolti sulle operazioni tra matrici, vale a dire uno degli argomenti base su cui si fonda lo studio (teorico e pratico) dell'Algebra Lineare. In quanto tale, è importante fare sin da subito allenamento in modo da prendere confidenza con i vari tipi di operazioni, e imparare a svolgerle con disinvoltura.

Gli esercizi sulle operazioni tra matrici che proponiamo in questa raccolta spaziano su vari livelli di difficoltà (in ordine crescente) e sono tutti svolti nel dettaglio. Tra di essi vi sono esercizi specifici sulla somma tra matrici, sul prodotto per uno scalare, sul prodotto riga per colonna e sulle potenze di matrici, ed esercizi misti che coinvolgono lo sviluppo di espressioni con matrici.

Per le definizioni, le regole di calcolo e semplici esempi commentati vi rimandiamo alle lezioni dedicate alle varie operazioni. ;)

Esercizi risolti sulle operazioni tra matrici

I) Date le matrici

$\\ A=\begin{pmatrix}1&-1&3 \\ 0&2&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&5 \\ 7&2 \\ -1&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}0&-4 \\ -6&3 \\ 1&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}4&1&-2 \\ 2&0&1\end{pmatrix}$

determinare tutte le possibili somme a due a due.

II) Calcolare la somma , dove

$\\ A=\begin{pmatrix}4+\imath & \imath & 0 \\ 1+\imath & 7-3\imath & 2-9\imath \\ -1+2\imath & 11+3\imath & -\imath\end{pmatrix} \\ \\ \\ B = \begin{pmatrix}5\imath & 0 & 1-\imath \\ -2-\imath & 3\imath & 1+\imath \\ 1-\imath & -3+2\imath & 5+2\imath\end{pmatrix}$

III) Siano

$\\ A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 2&3 \\ 1&0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&-1 \\ 1&3 \\ 2&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}5&1 \\ 1&-6 \\ -1&3\end{pmatrix}$

Determinare gli elementi della matrice .

IV) Calcolare la moltiplicazione tra le matrici

$A=\begin{pmatrix}0&1&-2 \\ 0&0&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&0 \\ -1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}$

V) Date le matrici

$\\ A=\begin{pmatrix}2&3&-1 \\ 1&2&0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}3&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&1&0\end{pmatrix}$

determinare tutti i possibili prodotti riga per colonna, a due a due.

VI) Determinare il prodotto , con

$\\ A=\begin{pmatrix}1+\imath & & \imath & & 0 & & \overline{3+2\imath} \\ \\ -\imath & & \overline{-1-3\imath} & & 7\imath & & 6\imath\end{pmatrix} \\ \\ \\ B=\begin{pmatrix}2 & & 4\imath \\ \\ -3\imath & & 0 \\ \\ \overline{1-\imath} & & -2\imath \\ \\ 5-\imath & & \overline{2+\imath}\end{pmatrix}$

VII) Stabilire se il prodotto tra le seguenti matrici è commutativo

$A=\begin{pmatrix}1&0 \\ 1&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&1 \\ 0&1\end{pmatrix}$

VIII) Sia

$B=\begin{pmatrix}1&0 \\ 1&1\end{pmatrix}$

Trovare l'espressione generale delle matrici di ordine 2 a coefficienti reali che commutano con .

IX) Stabilire per quali valori del parametro $k \in \mathbb{R}$ il prodotto matriciale tra è commutativo

$A=\begin{pmatrix}1&k \\ -1&0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}2&-1 \\ k&3\end{pmatrix}$

X) Data la matrice

$A=\begin{pmatrix}k&1&0 \\ 1&-k&0 \\ k&0&-1\end{pmatrix}$

trovare i valori del parametro tali che $A^2=\mbox{Id}_3$

XI) Considerate le matrici

$A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 1&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&1 \\ 1&2\end{pmatrix}$

calcolare e verificare che $(A+B)^2 \neq A^2+2AB+B^2$

XII) Calcolare il cubo della matrice

$A=\begin{pmatrix}0&1&1 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0\end{pmatrix}$

XIII) Date le matrici

$\\ A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 3&4\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&0&-1&3 \\ 2&-1&1&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}1&2 \\ 7&3 \\ 2&0 \\ 0&1\end{pmatrix}$

calcolare la matrice risultante dall'espressione $A+BC-3\mbox{Id}_2$ .

XIV) Siano

$\\ A=\begin{pmatrix}1&0&2 \\ -1&1&0 \\ 0&2&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}3 & -2 & 2\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&-3\end{pmatrix}$