Esercizi sul prodotto misto

Completiamo il quadro sulle operazioni base con la scheda di esercizi risolti sul prodotto misto tra vettori. Come di consueto avete a disposizione una selezione di esercizi interamente svolti e ordinati per livelli di difficoltà crescenti.

Per chi si stesse domandando in cosa consiste il prodotto misto, si tratta essenzialmente di un'operazione la cui definizione coinvolge sia il prodotto vettoriale, sia il prodotto scalare. Per questo motivo, prima di cimentarvi con gli esercizi sul prodotto misto e nel caso non l'aveste già fatto, vi suggeriamo di affrontare:

- gli esercizi sul prodotto scalare;

- gli esercizi sul prodotto vettoriale;

Per la definizione, le varie regole, le proprietà e le tecniche di calcolo del prodotto misto vi rimandiamo alla lezione del link. :)

Esercizi risolti sul prodotto misto tra vettori

I) Calcolare il prodotto misto tra i vettori

$\vec{u}=(1,0,2), \ \vec{v}=(-1,3,4), \ \vec{w}=(-5,0,2)$

II) Dati i punti $A(0,1,1), \ B(2,2,6), \ C(3,1,7)$ verificare che il prodotto misto

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}$

è nullo. Sapresti giustificarne il motivo?

III) Stabilire se i vettori

$\vec{u}=(1,-2,3), \ \vec{v}=(3,5,2), \ \vec{w}=(5,12,1)$

sono complanari.

IV) Per quali valori reali del parametro i seguenti vettori sono complanari?

$\vec{u}=(1,-1,2), \ \vec{v}=(-1,1,k), \ \vec{w}=(1,0,3)$

V) Sia $t \in \mathbb{R}$ . I vettori

$\vec{u}=(1,t,0), \ \vec{v}=(3,t,1), \vec{w}=(2,1,t)$

appartengono allo stesso piano:

1) per nessun valore di ;

2) per ogni valore di ;

3) per ;

4) per .

VI) Calcolare il volume del parallelepipedo generato dai vettori

$\vec{u}=(-2,1,1), \ \vec{v}=(0,1,3), \ \vec{w}=(1,0,-1)$

VII) Trovare il volume del tetraedro di vertici

$A(1,0,1), \ B(3,1,2), \ C(4,-1,3), \ D(2,-3,1)$

VIII) Stabilire per quali valori del parametro reale i vettori

$\vec{u}=(k,1,0), \ \vec{v}=(1,1,1), \vec{w}=(-1,0,2)$

individuano un tetraedro di volume 3.

IX) Determinare i vettori di modulo 1 complanari con $\vec{u}=(1,-1,0), \ \vec{v}=(1,1,2)$ e perpendicolari al vettore $\vec{w}=(3,-1,1)$ .

X) Trovare i vettori $\vec{w} \in \mathbb{R}^3$ di modulo 3, complanari con $\vec{u}=(1,2,-2), \ \vec{v}=(-1,-4,8)$ e tali che $\widehat{\vec{u}\vec{w}}=\widehat{\vec{v}\vec{w}}$ .

Svolgimenti e soluzioni

I) Calcolo del prodotto misto

II) Calcolo del prodotto misto noti tre punti

III) Stabilire se tre vettori sono complanari

IV) Vettori complanari dipendenti da un parametro

V) Valori di un parametro per cui tre vettori appartengono allo stesso piano

VI) Volume del parallelepipedo generato da tre vettori

VII) Volume del tetraedro con prodotto misto

VIII) Volume del tetraedro generato da tre vettori, con parametro

IX) Vettori perpendicolari a un vettore e complanari ad altri due

X) Vettori complanari ad altri due e con angolo di stessa ampiezza

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