Esercizi sul prodotto vettoriale

State leggendo la scheda di esercizi risolti sul prodotto vettoriale: tutti gli esercizi proposti in questa raccolta sono svolti nel dettaglio, passo dopo passo, corredati da tutti i calcoli ed elencati in ordine di difficoltà crescente.

 

Gli esercizi sul prodotto vettoriale sono fondamentali per chi è agli esordi con lo studio dell'Algebra lineare e, per certi versi, anche per gli studenti delle scuole superiori che studiano Fisica a un livello approfondito. Trattandosi di un'operazione base tra vettori, come potete immaginare, è importante non avere dubbi al riguardo e acquisire una solida dimestichezza pratica.

 

Nel caso vogliate fare un ripasso sulla definizione, sulle proprietà e sui metodi di calcolo del prodotto vettoriale, vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link. Prima di procedere assicuratevi tra l'altro di ricordare le tecniche di calcolo del determinante, in quanto essenziale per i nostri scopi; una volta terminato, invece, vi raccomandiamo di allenarvi con gli esercizi sul prodotto misto. ;)

 

Esercizi risolti sul prodotto vettoriale

 

 

I) Calcolare il prodotto vettoriale tra i vettori

 

\vec{u}=(-3,0,-1), \ \vec{v}=(-1,1,-2)

 

II) Calcolare il prodotto vettoriale tra

 

\\ \vec{v}=3\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k} \\ \\ \vec{w}=5\vec{i}+\vec{k}

 

e verificare che il vettore \vec{v} \times \vec{w} è ortogonale sia a \vec{v} che a \vec{w}.

 

III) Calcolare il prodotto vettoriale tra

 

\vec{v}=(1,-1,a), \ \vec{w}=(-2,a,1)

 

e stabilire per quali valori del parametro a \in \mathbb{R} i vettori \vec{v}, \vec{w} sono paralleli:

 

1) per nessun valore di a;

 

2) per ogni valore di a;

 

3) per a=2;

 

4) per a=0.

 

IV) Per ogni \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3 dimostrare che

 

||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2

 

e calcolare ||\vec{u} \times \vec{v}|| sapendo che

 

||\vec{u}||=5, \ ||\vec{v}||=2, \ \vec{u}\cdot \vec{v}=-6.

 

V) Calcolare le componenti di un vettore ortogonale ai vettori \vec{v}=(5,0,2), \ \vec{w}=(1,2,-1).

 

VI) Siano \vec{u}, \vec{v} due vettori ortogonali tra loro e tali che ||\vec{u}||=2, \ ||\vec{v}||=3. Sia, inoltre

 

\vec{w}=-\vec{u}+2\vec{v}+(\vec{u} \times \vec{v})

 

Calcolare la norma di \vec{w}

 

VII) \vec{u}, \vec{v} sono due vettori di \mathbb{R}^3 appartenenti al piano [xy], con seconda componente positiva, aventi come punto di applicazione l'origine, e tali da formare col semiasse positivo delle ascisse due angoli ampi, rispettivamente, 60° e 30°.

 

Sapendo che ||\vec{u}||=4 e che ||\vec{v}||=5, calcolare:

 

1) le componenti dei due vettori;

 

2) il modulo del prodotto vettoriale \vec{u} \times \vec{v}.

 

VIII) Calcolare l'area del parallelogramma avente per lati i vettori

 

\\ \vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k} \\ \\ \vec{w}=2\vec{j}-\vec{k}

 

IX) Trovare l'area del parallelogramma ABCD sapendo che le diagonali AC e BD sono date, rispettivamente, dai vettori

 

\\ 2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} \\ \\ \vec{i}+4\vec{j}

 

X) Dati i vettori

 

\\ \overrightarrow{AB}=-\vec{i}+3\vec{j}-4\vec{k} \\ \\ \overrightarrow{AC}=\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}

 

calcolare l'area del triangolo di vertici A,B,C.

 

XI) Calcolare l'area del triangolo di vertici A(3,1,0), \ B(2,-1,2), \ C(4,3,1).

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolo del prodotto vettoriale 

 

II) Calcolare il prodotto vettoriale e verificare l'ortogonalità

 

III) Prodotto vettoriale e parallelismo tra vettori con parametro

 

IV) Dimostrare una proprietà del prodotto vettoriale

 

V) Vettore ortogonale a due vettori dello spazio

 

VI) Norma di un vettore con prodotto vettoriale

 

VII) Componenti di due vettori e modulo del prodotto vettoriale

 

VIII) Calcolare l'area di un parallelogramma avente per lati i vettori

 

IX) Area di un parallelogramma dalle diagonali con i vettori

 

X) Area di un triangolo col prodotto vettoriale

 

XI) Area di un triangolo per tre punti col prodotto vettoriale

 

 

Lezione correlata

 
 

Tags: esercizi svolti sul calcolo del prodotto vettoriale.