Esercizi su prodotto scalare e norma

In questa scheda vi proponiamo una selezione di esercizi risolti sul prodotto scalare e sulla norma di vettori, tutti svolti nei minimi dettagli e corredati di ogni passaggio.

 

Gli esercizi su prodotto scalare e norma sono estremamente importanti, in quanto riguardano due nozioni che si ripresentano a ogni livello nello studio dell'Algebra Lineare e della Geometria dello Spazio, sia a livello teorico, sia a livello pratico; prima di procedere, però, è altrettanto importante aver una buona confidenza con le operazioni tra vettori.

 

Nel caso vogliate fare un ripasso delle definizioni e/o vedere qualche esempio introduttivo, nonché le regole e le proprietà che caratterizzano prodotto scalare e norma, vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link.

 

Nota bene: in questa pagina ci occupiamo esclusivamente del prodotto scalare euclideo; tratteremo i prodotti scalari qualsiasi in una lezione (e in una scheda di esercizi) a parte.

 

Esercizi risolti su prodotto scalare e norma di vettori

 

I) Dati i vettori

 

\vec{u}=(0,1,3), \ \vec{v}=(-1,2,-4), \ \vec{w}=(1,-3,1)

 

calcolare le rispettive norme e determinare il valore dei prodotti scalari

 

\vec{u} \cdot \vec{v} \ \ ; \ \ \vec{u} \cdot \vec{w} \ \ ; \ \ \vec{v} \cdot \vec{w}

 

I vettori \vec{u}, \vec{w} sono ortogonali? Perché?

 

II) Determinare le componenti dei due versori ortogonali al vettore \vec{v}=(3,1)

 

III) Dati i vettori

 

\vec{u}=\left(1,-\frac{1}{2}, 1\right), \ \vec{v}=(0,0,1)

 

si trovi il vettore \vec{w} tale che

 

\\ \vec{u}\cdot \vec{w}=0 \ \ ; \ \ \vec{v} \cdot \vec{w}=0 \ \ ; \ \ \vec{w} \cdot \vec{w}=1

 

IV) Per quali valori del parametro reale a i vettori

 

\vec{u}=(1,-1,2), \ \vec{v}=(-2,a,4)

 

sono perpendicolari?

 

1) Per nessun valore di a

 

2) Per ogni valore di a

 

3) Per a=6

 

4) Per a=10

 

V) Per quali valori reali del parametro k i vettori

 

\vec{u}=(1,2k,-2), \ \vec{v}=(-2,-4k,4)

 

sono ortogonali?

 

1) Per nessun valore di k

 

2) Solo per k=0

 

3) Per ogni valore di k

 

4) Solo per k=1

 

VI) Determinare il valore del parametro t tale che l'angolo tra i vettori \vec{u}, \vec{v} sia di \frac{\pi}{3}, con

 

\vec{u}=(1,2,1), \ \vec{v}=(1,0,t)

 

VII) Ricorrendo alla regola del parallelogramma, dimostrare che

 

||\vec{u}+\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+2 (\vec{u} \cdot \vec{v}) + ||\vec{v}||^2

 

Usare la suddetta proprietà per calcolare l'ampiezza dell'angolo formato dai vettori \vec{u}, \vec{v} sapendo che

 

||\vec{u}||=3 \ \ ; \ \ ||\vec{v}||=5 \ \ ; \ \ ||\vec{u}+\vec{v}||=7 

 

VIII) Dati due vettori \vec{u}, \vec{v} calcolare la norma di \vec{v} sapendo che

 

||\vec{u}||=2 \ \ ; \ \ \vec{u}\cdot \vec{v}=3 \ \ ; \ \ \widehat{\vec{u}\vec{v}}=\frac{\pi}{6}

 

IX) Sia dato il vettore \vec{u}=(1,0,-1). Trovare almeno un vettore \vec{v} che sia ortogonale a \vec{u} e che abbia norma unitaria.

 

X) Determinare tutti i versori di \mathbb{R}^3 che formano un angolo di \frac{\pi}{3} sia con il vettore \vec{v}=(1,1,0) che col vettore \vec{w}=(0,1,-1).

 

XI) Trovare il vettore di modulo 2, perpendicolare ai vettori \vec{v}=(1,4,2), \ \vec{w}=(5,1,1) e che forma un angolo acuto con l'asse y.

 

XII) Trovare, se esiste, il versore perpendicolare ai vettori \vec{u}=(0,2,0), \ \vec{v}=(1,1,-2) e che forma un angolo ottuso con l'asse x.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolo del prodotto scalare tra vettori e delle norme 

 

II) Versori perpendicolari a un vettore dato

 

III) Trovare un vettore conoscendo il prodotto scalare

 

IV) Vettori perpendicolari dipendenti da un parametro

 

V) Valori di un parametro per cui due vettori sono ortogonali

 

VI) Valori di un parametro per un certo angolo tra vettori

 

VII) Dimostrazione di una proprietà della norma con la regola del parallelogramma

 

VIII) Norma di un vettore con angolo compreso

 

IX) Vettore di norma 1 ortogonale a un altro vettore

 

X) Versori che formano un angolo della stessa ampiezza con due vettori

 

XI) Vettore perpendicolare a due vettori e di norma 2

 

XII) Versore perpendicolare a due vettori e angolo ottuso con asse x

 

 

Lezione correlata

 
 

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