Esercizi sulla matrice inversa

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Mettitevi alla prova con gli esercizi svolti sul calcolo della matrice inversa: qui di seguito vi proponiamo esercizi risolti, con tutti i passaggi e i commenti del caso, ordinati per difficoltà e tali da coprire le varie tipologie di tracce proposte in sede d'esame.

 

Affrontando i seguenti esercizi su invertibilità e matrice inversa potrete applicare le varie tecniche per lo studio dell'invertibilità e per il calcolo dell'inversa di una matrice di ordine 2, 3 o 4.

 

A proposito, dall'ordine 4 in su vi raccomandiamo di usare sempre Laplace; ad ogni modo tutti i metodi vengono presentati nella lezione correlata - matrice inversa. Inoltre, tenete conto che su YouMath ci sono tanti altri esercizi che potete reperire con la barra di ricerca interna... ;)

 

Esercizi risolti sulla matrice inversa

 

I) Calcolare l'inversa della matrice 2x2

 

A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ -1&2\end{pmatrix}

 

II) Determinare l'inversa della seguente matrice col metodo dei cofattori

 

A=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&2&0 \\ 3&2&0\end{pmatrix}

 

III) Calcolare l'inversa della seguente matrice usando il metodo dei complementi algebrici:

 

A=\begin{pmatrix}1&-1&3\\ 1&1&2\\ 2&0&7\end{pmatrix}

 

IV) Calcolare l'inversa della matrice A usando il metodo di Gauss

 

A=\begin{pmatrix}-1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&-3&1\end{pmatrix}

 

V) Date le matrici

 

A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 2&0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}3&2 \\ 1&1\end{pmatrix}

 

calcolare l'inversa della matrice prodotto AB e verificare che (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

 

VI) Calcolare, se esiste, l'inversa della matrice

 

AB+C-D^3

 

dove

 

\\ A=\begin{pmatrix}1&2 \\ -1&0 \\ 3&2\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&0&-1 \\ 2&1&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}6&-3&5 \\ 1&8&2 \\ -7&-2&4\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&3&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} 

 

VII) Sia A una matrice quadrata di ordine 2 a elementi in \mathbb{C}, tale che

 

A^2+A+\mbox{Id}_2=O_2

 

Provare che A è invertibile, e ricavare l'espressione esplicita dell'inversa e del determinante di A.

 

VIII) Sia A una matrice quadrata di ordine n. Se

 

A^3=3\mbox{Id}_n

 

allora A è invertibile. Vero o falso?

 

IX) Studiare l'invertibilità di A al variare del parametro k

 

A=\begin{pmatrix}0&2&k \\ 1&1&0 \\ 1&3&2k\end{pmatrix}

 

X) Determinare i valori del parametro reale k per cui la matrice

 

A=\begin{pmatrix}1&k&-1 \\ 2&4&k \\ -1&-2&-2\end{pmatrix}

 

risulti non invertibile.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Inversa di una matrice 2x2

 

II) Inversa di una matrice col metodo dei cofattori

 

III) Inversa di una matrice di ordine 3

 

IV) Inversa di una matrice 3x3 con Gauss

 

V) Inversa del prodotto di due matrici

 

VI) Inversa di un'espressione matriciale

 

VII) Esercizio teorico sul calcolo dell'inversa e del determinante

 

VIII) Quesito teorico sulle matrici invertibili

 

IX) Studio dell'invertibilità di una matrice parametrica

 

X) Studiare l'invertibilità di una matrice al variare di k

 

 

Lezione correlata 

 
 

Tags: scheda di esercizi sull'invertibilità delle matrici ed esercizi risolti sull'inversa di una matrice.