Esercizi sui sistemi lineari per universitari

Qui di seguito vi proponiamo alcuni esercizi sui sistemi lineari, svolti con i vari metodi di risoluzione e spiegati dettagliatamente. La raccolta si rivolge prevalentemente agli studenti universitari alle prese con il corso di Algebra Lineare (e affini), ed è strutturata in modo da coprire tutti i metodi risolutivi.

 

Attenzione: vi suggeriamo di non prediligere, in generale, un particolare metodo di risoluzione per sistemi lineari rispetto agli altri. Nel corso degli studi infatti vi capiterà tantissime volte di poter usare uno specifico metodo, risparmiando parecchio tempo e calcoli.

 

L'evoluzione naturale di questa raccolta sfocia nella scheda di esercizi sui sistemi lineari parametrici; al contrario, a chi volesse ripartire dalle basi e dunque dall'approccio ai sistemi lineari delle scuole superiori, consigliamo

 

- la lezione introduttiva sui sistemi lineari;

 

- la scheda di esercizi svolti sui sistemi lineari.

 

Esercizi risolti sui sistemi lineari

 

I) Applicando il metodo di sostituzione determinare le eventuali soluzioni del sistema lineare

 

\begin{cases}x_1+x_2=0 \\ 3x_1-x_2+\sqrt{2}x_3=1 \\ 2x_1+2x_2=0\end{cases}

 

II) Determinare x,y,z sapendo che

 

\begin{cases}x+2y+3z=1 \\ 2x+y+4z=2 \\ 3x-3y+z=1 \end{cases}

 

III) Determinare le soluzioni del seguente sistema lineare 4x4 scegliendo un qualsiasi metodo di risoluzione

 

\begin{cases}x+y-3z=1 \\ 2x-y=2 \\ 2x+z=3 \\ x+y+z+t=0\end{cases}

 

IV) Risolvere il sistema lineare di tre equazioni lineari in quattro incognite

 

\begin{cases}x+y-2w=0 \\ 2y+3z-w=5 \\ 3x+y-z+w=1\end{cases}

 

V) Determinare le soluzioni del sistema lineare

 

\begin{cases}2x-y+3z=5 \\ x+3y-z=1\end{cases}

 

con il metodo di Cramer.

 

VI) Usando il metodo di Cramer calcolare le soluzioni del sistema lineare

 

\begin{cases}2x+2y+z=1 \\ x+4y-z=2 \\ x-2y+2z=-1\end{cases}

 

VII) Calcolare le soluzioni del seguente sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss

 

\begin{cases}x+3y-4z=2 \\ 4x+7y+z=6 \\ 2x+y+9z=2 \\ 5x+5y+14z=6\end{cases}

 

VIII) Risolvere il seguente sistema lineare 2x3 usando un qualsiasi metodo risolutivo.

 

\begin{cases}x+y+z=1 \\ -x+y+z=-1\end{cases}

 

IX) Calcolare le soluzioni del sistema lineare 3x5

 

\begin{cases}-x_1+2x_2-2x_3+x_4=1 \\ 2x_1-4x_2+4x_3-2x_4=-2 \\ x_1-2x_2+2x_3-x_4+x_5=0\end{cases}

 

scegliendo un qualsiasi metodo di risoluzione.

 

X) Calcolare i valori di x,y,z che soddisfano il sistema lineare

 

\begin{cases}2x+y=3 \\ 2y+z=0 \\ x-y+2z=-4 \\ 2x+2z=-1\end{cases}

 

XI) Determinare le soluzioni del sistema lineare

 

S: \ \begin{cases}x+2y+3z=0 \\ 2x+3y+5z=1 \\ y+z=-1\end{cases}

 

Successivamente stabilire se il sistema lineare S' ottenuto aggiungendo a S l'equazione

 

-x+y=2

 

è equivalente a S.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Sistema lineare 3x3 per sostituzione

 

II) Risoluzione di sistema lineare 3x3 con Gauss

 

III) Esercizio su sistema lineare 4x4

 

IV) Sistema lineare di tre equazioni in quattro incognite

 

V) Metodo di Cramer per un sistema rettangolare 2x3

 

VI) Sistema lineare con determinante nullo da risolvere con Cramer

 

VII) Sistema lineare da risolvere col metodo di eliminazione di Gauss

 

VIII) Sistema lineare con tre incognite su due righe

 

IX) Determinare le soluzioni di un sistema lineare 3x5

 

X) Sistema lineare 4x3

 

XI) Stabilire se aggiungendo un'equazione si ottiene un sistema lineare equivalente

 

 

Lezione correlata 

 
 

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