Esercizi sulla verifica per sottospazi vettoriali

Gli esercizi risolti sui sottospazi vettoriali che vi proponiamo in questa scheda sono corredati da svolgimenti completi, ordinati per difficoltà crescente e tali da ricoprire le principali tipologie di tracce che possono presentarsi nei corsi universitari di Algebra Lineare.

 

La richiesta tipo degli esercizi sulla definizione di sottospazio vettoriale consiste essenzialmente nello stabilire (o verificare) se il sottoinsieme assegnato è un sottospazio vettoriale o meno. Sono esercizi abbastanza standard, dunque niente paura... :) Ma tenete a mente che si tratta di una richiesta molto gettonata in sede d'esame!

 

Per un ripasso completo sulla definizione di sottospazio vettoriale, sui vari metodi di verifica della definizione e per alcuni esempi introduttivi guidati, vi rimandiamo alle lezioni dei rispettivi link.

 

Esercizi risolti sulla verifica di sottospazio vettoriale

 

I) Stabilire se l'insieme

 

W=\{(a,b) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2a+b=0\}

 

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^2.

 

II) Dire se il seguente insieme è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^2

 

W=\{(r,s) \ | \ r,s \in \mathbb{R}, \ r \ge 0\}

 

III) Verificare che l'insieme

 

S=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ 2x-y-z=0, \ x+2y+2z=0\}

 

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3.

 

IV) Dire se l'insieme

 

H=\{(1,t,t^2) \ | \ t \in \mathbb{R}\}

 

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3, motivando la risposta.

 

V) Sia S il seguente sottoinsieme di \mathbb{R}^4:

 

S=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ 2x-4y=0, \ z+3t=0\}

 

Stabilire se S è un sottospazio vettoriale, giustificando la risposta.

 

VI) Provare che l'insieme

 

H=\{(0,0,z,t) \ | \ z,t \in \mathbb{R}\}

 

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4

 

VII) Si stabilisca per quali valori del parametro h l'insieme

 

S=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x-hy-z=0, \ x+z=1-h\}

 

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3 scegliendo la risposta giusta tra le seguenti:

 

1) per ogni valore di h;

 

2) per nessun valore di h;

 

3) per h=1;

 

4) per h \neq 1;

 

5) per h=0.

 

VIII) In \mathbb{R}^4 sia assegnato il sottoinsieme

 

H=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ (a+2)xy+z+t=a^2-4\}

 

Si stabilisca per quali valori di a \in \mathbb{R} l'insieme H è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4.

 

IX) Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali e a traccia nulla sono un sottospazio vettoriale di Mat(2,2,\mathbb{R}) rispetto alle operazioni di somma tra matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare.

 

X) Sia \mathbb{R}^{3,3} lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 3 a elementi reali, e sia

 

U=\left\{A \in \mathbb{R}^{3,3} \ | \ A+A^T = \mbox{Id}_3\right\}

 

Stabilire se U è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^{3,3} giustificando la risposta.

 

XI) Verificare che

 

T=\left\{A \in \mathbb{R}^{2,2} \ | \ A \begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix} = O_2\right\}

 

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^{2,2}.

 

XII) Si dica se il seguente sottoinsieme di \mathbb{R}_2[x] è un suo sottospazio vettoriale:

 

U=\{p(x) \in \mathbb{R}_2[x] \ | \ p(1)=p(2)=0\}

 

XIII) È vero che

 

S=\{p(x) \in \mathbb{R}_2[x] \ | \ xp'(x)=0\}

 

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}_2[x]?

 

XIV) Dato il seguente il sottoinsieme di \mathbb{R}_4[x]

 

T=\{a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 \in \mathbb{R}_4[x] \ | \ a_4=1\}

 

verificare che non è chiuso rispetto alla somma e quindi stabilire se è, o meno, un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}_4[x].

 

XV) Sia V lo spazio vettoriale delle funzioni da \mathbb{R} in \mathbb{R}.

 

Dimostrare che l'insieme

 

U=\{f \in V \ | \ f(x)=ax+b, \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}\}

 

è un sottospazio vettoriale di V.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Stabilire se un insieme di R^2 definito da un'equazione è un sottospazio

 

II) Esercizio sulla verifica di sottospazio per un insieme assegnato per coordinate

 

III) Verificare che un insieme definito da due equazioni è un sottospazio

 

IV) Stabilire se un insieme di R^3 definito per caratteristica è un sottospazio

 

V) Stabilire se un sottoinsieme di R^4 definito da equazioni è un sottospazio vettoriale

 

VI) Provare che un insieme di R^4 definito per caratteristica è un sottospazio vettoriale

 

VII) Valori di un parametro tali che un insieme sia un sottospazio di R^3

 

VIII) Stabilire per quali valori di un parametro un insieme è un sottospazio

 

IX) Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 con traccia nulla sono un sottospazio vettoriale

 

X) Stabilire se un insieme di matrici 3x3 è un sottospazio vettoriale

 

XI) Insieme di matrici definito per caratteristica come sottospazio vettoriale

 

XII) Esercizio: dire se un insieme di polinomi è un sottospazio vettoriale

 

XIII) Stabilire se un insieme di polinomi è un sottospazio vettoriale

 

XIV) Verificare che un sottoinsieme di polinomi non è chiuso rispetto alla somma, e dire se è un sottospazio

 

XV) Dimostrare che l'insieme delle funzioni lineari è un sottospazio vettoriale

 

 

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