Esercizi sul determinante

Gli esercizi svolti sul determinante che vi proponiamo in questa pagina sono interamente risolti e spiegati nel dettaglio; sono ordinati per livelli di difficoltà crescente, e si rivolgono agli studenti universitari alle prese con l'esame di Algebra Lineare.

 

Gli esercizi sul determinante elencati qui di seguito si suddividono essenzialmente in due categorie: da un lato, esercizi piuttosto meccanici la cui unica richiesta è il calcolo del determinante delle matrici; dall'altro, un sottobosco di esercizi teorici che richiedono di applicare più o meno esplicitamente le varie proprietà del determinante.

 

Volete consultare altri esercizi? Potete trovarne quanti ne volete con la barra di ricerca interna; per un ripasso completo, invece, vi rimandiamo alla lezione dedicata al determinante.

 

Esercizi risolti sul determinante

 

 

I) Calcolare i determinanti delle matrici

 

\\ A=\begin{pmatrix}3\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&2 \\ -2&3\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ C=\begin{pmatrix}-1&0 \\ 2&1 \\ 0&4\end{pmatrix} \\ \\ \\ D=\begin{pmatrix}0&1&2 \\ -3&0&1 \\ -1&1&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ E=\begin{pmatrix}1&0&-1&4 \\ -1&0&6&2 \\ 3&0&8&-12 \\ 6&0&-1&3\end{pmatrix}

 

II) Calcolare il determinante della matrice 3x3

 

A=\begin{pmatrix}2&1&-1 \\ 3&6&4 \\ 0&0&2\end{pmatrix}

 

III) Calcolare il determinante della matrice 4x4

 

A=\begin{pmatrix}2&1&3&0 \\ -1&0&1&2 \\ 2&0&-1&-1 \\ -3&1&0&1\end{pmatrix}

 

IV) Calcolare il determinante della matrice

 

A=\begin{pmatrix}1&-1&4&1 \\ 2&0&0&-1 \\ 2&-2&8&2 \\ 3&2&1&3\end{pmatrix}

 

V) Calcolare il determinante della matrice a elementi complessi

 

A=\begin{pmatrix}\imath & & \overline{-1+2\imath} & & |\imath| \\ \\ \overline{3\imath} & & 1+\imath & & 0 \\ \\ 0 & & \overline{2-3\imath} & & 2\imath\end{pmatrix}

 

VI) Calcolare il determinante della matrice 6A con

 

A=\begin{pmatrix}1&-1&3 \\ 2&4&1 \\ 2&3&-5\end{pmatrix}

 

VII) Calcolare il determinante della matrice parametrica

 

A=\begin{pmatrix}6k-4 & & 5k-2 \\ \\ 7k-7 & & 6k-5\end{pmatrix}

 

VIII) Stabilire per quali valori di k il determinante della seguente matrice è uguale a zero

 

A=\begin{pmatrix}2-k & & 3k-7 & & -k-71 \\ \\ 0 & & k^2-11 & & 23-k^2 \\ \\ 0 & & 0 & & k-8\end{pmatrix}

 

IX) Calcolare il determinante della seguente matrice parametrica con la regola di Laplace

 

A=\begin{pmatrix}-1&1&1&2\\ 2&-1&0&0\\ 0&1&1&h\\1&-1&1&2h\end{pmatrix}

 

X) Usando il metodo di eliminazione gaussiana calcolare il determinante della matrice

 

A=\begin{pmatrix}0&1&2 \\ 1&2&3 \\ 1&2&-1\end{pmatrix}

 

XI) Date le matrici

 

A=\begin{pmatrix}1&-2&0 \\ 1& \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 3 & 1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&-\sqrt{2}&0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}

 

calcolare il determinante della matrice A^2B^3A^{-1}B^{-2}

 

XII) Siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \in \mathbb{R}^3 tre generici vettori riga e sia A la seguente matrice quadrata di ordine 3

 

A=\begin{pmatrix}\mathbf{v}_1 \\ \mathbf{v}_2 \\ \mathbf{v}_3\end{pmatrix}

 

Calcolare il determinante della matrice

 

B=\begin{pmatrix}\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 \\ 3\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3 \\ \mathbf{v}_3\end{pmatrix}

 

sapendo che \mbox{det}(A)=-5.

 

XIII) Utilizzando le proprietà e le regole di calcolo del determinante, esprimere il determinante della matrice

 

A=\begin{pmatrix}a+5 & b+2 & 2c \\ c+2 & bc+1 & c \\ 2b & b & bc\end{pmatrix}

 

come polinomio nelle variabili a,b,c. Determinare poi i valori interi di a,b,c per cui \mbox{det}(A)=3.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio: calcolare il determinante di matrici

 

II) Determinante di una matrice 3x3 con Sarrus o Laplace?

 

III) Determinante di una matrice 4x4 con Laplace

 

IV) Determinante di una matrice con due righe proporzionali

 

V) Determinante di una matrice con numeri complessi

 

VI) Determinante del prodotto di una matrice per uno scalare

 

VII) Esercizio sul calcolo del determinante di una matrice parametrica

 

VIII) Valori di un parametro che annullano il determinante

 

IX) Determinante di una matrice parametrica 4x4

 

X) Determinante di una matrice col metodo di eliminazione gaussiana

 

XI) Determinante del prodotto tra matrici potenza

 

XII) Calcolo del determinante con le proprietà

 

XIII) Valori interi di tre parametri per cui il determinante di una matrice è 3

 

 

Lezione correlata 

 
 

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