Esercizi sulle basi di sottospazi vettoriali

In questa pagina vi proponiamo una selezione di esercizi svolti su dimensione e base di sottospazi vettoriali, di varia tipologia e con sottospazi di varia natura. Abbiamo scelto gli esercizi in modo da coprire le principali richieste da esame, e ordinato le tracce in ordine di difficoltà crescente.

 

A proposito: il concetto di base di uno spazio vettoriale è intrinsecamente legato alla definizione di sistema di generatori e alla nozione di indipendenza lineare, per cui prima di proseguire assicuratevi di averle ben digerite.

 

D'altro canto, una volta che avrete terminato qui, vi suggeriamo di proseguire con gli esercizi sul calcolo delle coordinate rispetto a una base.

 

Esercizi risolti sulle basi di sottospazi vettoriali

 

I) Dimostrare che l'insieme

 

\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\} = \{(1,-3), \ (2,2)\}

 

è una base di \mathbb{R}^2 usando la definizione.

 

II) Dati i vettori

 

\mathbf{v}_1=(-1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,0)

 

sia

 

V=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2).

 

Stabilire se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} è una base di V motivandone la risposta.

 

III) Dati i vettori

 

\mathbf{v}_1=(0,1,0,-1), \ \mathbf{v}_2=(1,0,0,-1), \ \mathbf{v}_3 = (-1,1,1,0)

 

e detto V il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 da essi generato, si dica se \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 formano una base di V e si determini la dimensione di V.

 

IV) Quale tra i seguenti insiemi è una base di un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3 di dimensione 2?

 

\\ (a) \ A=\{(3,1), \ (4,-1)\} \\ \\ (b) \ B=\{(3,1,2), \ (6,2,4)\} \\ \\ (c) \ C=\{(3,1,2), \ (6,2,4), \ (1,0,1)\} \\ \\ (d) \ D=\{(3,1,2), \ (1,0,1)\}

 

V) Per quali valori di t \in \mathbb{R} l'insieme

 

\mathcal{B}_t = \{(2,t), \ (t,2)\}

 

è una base di \mathbb{R}^2?

 

VI) Determinare i valori del parametro reale k per cui i vettori

 

\\ \mathbf{v}_1=(3,-3,-6) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(1,-1,k) \\ \\ \mathbf{v}_3=(2,k,-4)

 

formano una base di \mathbb{R}^3.

 

VII) Stabilire per quali valori reali del parametro k i vettori

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,k,-3,0) \\ \\ \mathbf{v}_2=(k,k^2,-2k,1) \\ \\ \mathbf{v}_3=(2,2k,-6,k)

 

non costituiscono una base per il sottospazio S da essi generato.

 

VIII) Esistono sottospazi di \mathbb{R}^3 di dimensione 1? Se sì, si scriva almeno un esempio, se no, dire il perché.

 

IX) Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo \mathbb{K}. Dimostrare che due basi distinte di V hanno la stessa cardinalità.

 

X) Date le matrici

 

A_1=\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&0\end{pmatrix} \ \ ; \ \ A_2=\begin{pmatrix}0&1 \\ 1&0\end{pmatrix} \ \ ; \ \ A_3=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

 

dimostrare che \mathcal{B}=\{A_1, A_2, A_3\} è una base dello spazio delle matrici simmetriche di ordine 2 a entrate reali.

 

XI) Date le matrici A, B \in Mat(3,2,\mathbb{R})

 

A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 1&2 \\ 0&3 \end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&2\\ -1&1 \\ 0&1\end{pmatrix}

 

stabilire se l'insieme \mathcal{B}=\{A,B\} è una base del sottospazio V=\mbox{Span}(A,B).

 

XII) Siano p_1(x), p_2(x), p_3(x) \in \mathbb{R}_2[x] i polinomi

 

p_1(x)=1+x^2 \ \ ; \ \ p_2(x)=1+x \ \ ; \ \ p_3(x)=x+x^2

 

Dimostrare che costituiscono una base di \mathbb{R}_2[x] e calcolare la dimensione di \mathbb{R}_2[x].

 

XIII) Si stabilisca per quali valori di k i polinomi

 

\\ p_1(x)=2k-3x^2 \ \ \ ; \ \ \ p_2(x)=1+2kx-x^2+3kx^3 \\ \\ p_3(x)=-2+x^2 \ \ \ ; \ \ \ p_4(x)=5+kx^2-2kx^3

 

individuano una base di \mathbb{R}_3[x].

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Dimostrare che un insieme di vettori è una base

 

II) Base dello Span di due vettori

 

III) Stabilire se tre vettori formano una base di un sottospazio generato

 

IV) Quesito a risposta multipla: possibile base di un sottospazio di R^3 di dimensione 2

 

V) Per quali valori di un parametro un insieme di vettori è una base di R^2

 

VI) Trovare i valori di un parametro per cui tre vettori formano una base

 

VII) Determinare i valori di un parametro per cui un insieme di vettori non è una base

 

VIII) Dire se esistono sottospazi di R^3 di dimensione 1

 

IX) Dimostrare che due basi hanno la stessa cardinalità

 

X) Verificare che un insieme di matrici è una base

 

XI) Base del sottospazio generato da due matrici

 

XII) Dimensione di uno spazio vettoriale di polinomi

 

XIII) Stabilire per quali valori di k un insieme di polinomi è una base

 

 

Lezione correlata

 
 

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