Esercizi su dipendenza e indipendenza lineare

La raccolta di esercizi svolti su dipendenza e indipendenza lineare presente in questa pagina ricopre le principali tipologie di tracce che si affrontano nei corsi universitari di Algebra Lineare. Sono tutti risolti e spiegati minuziosamente, in ogni singolo passaggio.

 

Gli esercizi su dipendenza e indipendenza lineare tra vettori servono a prendere confidenza con le omonime nozioni, fondamento irrinunciabile sia per lo studio dell'Algebra Lineare che per il corretto svolgimento degli esercizi più avanzati. Per dare un quadro completo delle possibili eventualità di applicazione, questa scheda non si limita solamente a tracce che coinvolgono vettori in senso stretto, ma anche polinomi e matrici (vettori nel senso più ampio del termine).

 

Per la teoria, le definizioni, gli esempi, i caveat e i metodi di risoluzione, vi rimandiamo alle lezioni:

 

vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti;

 

stabilire se un insieme di vettori è linearmente indipendente.

 

Esercizi risolti sulla dipendenza e sull'indipendenza lineare tra vettori

 

 

I) Usando la definizione, stabilire se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti.

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,0,-1,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(0,0,1,0) \\ \\ \mathbf{v}_3=(-1,1,3,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(2,4,2,5)

 

II) Dati i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,-2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(3,1,0)

 

verificare che sono linearmente dipendenti usando la definizione.

 

III) Stabilire, motivando la risposta, se i vettori

 

\\ \mathbf{v}_1=(2,1,-1,3) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(1,0,1,2) \\ \\ \mathbf{v}_3=(-1,0,2,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(3,0,-1,2)

 

sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti.

 

IV) Si consideri il seguente insieme di vettori di \mathbb{R}^4:

 

S=\left\{(1,2,1,0),(1,-1,0,1),(-1,-2,-1,0),(-1,1,0,-1),(1,1,0,1)\right\}

 

(a) \ S è linearmente dipendente?

 

(b) In caso affermativo, esprimere il vettore nullo di \mathbb{R}^4 come combinazione lineare, a coefficienti non nulli, dei vettori di S.

 

V) Per quali valori del parametro reale h i vettori

 

\mathbf{u}=(2h, -1, h) \ \ ; \ \ \mathbf{v}=(1,3h,1)

 

sono linearmente dipendenti?

 

VI) Determinare per quali valori reali del parametro k i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,k,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(3,-2,k) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,k,k^2)

 

sono linearmente indipendenti.

 

VII) Determinare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori di \mathbb{R}^4 sono linearmente dipendenti:

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,-1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,-3,0,0) \\ \\ \mathbf{v}_3=(0,1,0,k)

 

Per i valori di k trovati, esprimere \mathbf{v}_3 come combinazione lineare di \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2.

 

VIII) In uno spazio vettoriale euclideo i vettori \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} hanno norma 1 e sono tali che:

 

\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = \mathbf{x}\cdot \mathbf{z} = \mathbf{y}\cdot \mathbf{z} = h

 

dove h è un parametro reale e \cdot denota il prodotto scalare euclideo.

 

Stabilire per quali valori di h i vettori sono linearmente dipendenti e per quali sono linearmente indipendenti.

 

IX) Dimostrare che un insieme di vettori, in cui due di essi sono coincidenti, è linearmente dipendente.

 

X) Siano date le seguenti matrici quadrate di ordine due:

 

A=\begin{pmatrix}1&3 \\ 5&4\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}2&1 \\ 3&2\end{pmatrix}

 

Verificare che A,B sono linearmente indipendenti tra loro.

 

XI) Date le matrici

 

\\ A=\begin{pmatrix}0 & 2k-2 \\ 1 & 2k-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}2&4 \\ k+1 & k-3\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

 

si stabilisca per quali valori di k \in \mathbb{R} sono linearmente indipendenti.

 

XII) Dati i polinomi

 

\\ p_1(x)=1+x^2 \\ \\ p_2(x)=2+x+x^2 \\ \\ p_3(x)=-1-x+3x^2

 

stabilire se l'insieme S=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} è linearmente dipendente o linearmente indipendente.

 

XIII) Si determinino i valori reali del parametro k tali per cui i polinomi

 

\\ p_1(x)=2+kx+x^3 \ \ \ ; \ \ \ p_2(x)=1-x+2x^3 \\ \\ p_3(x)=1+x-2x^2+(k+1)x^3 \ \ \ ; \ \ \ p_4(x)=x-2x^2+x^3

 

sono linearmente indipendenti tra loro.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Studio dell'indipendenza lineare tra vettori con la definizione

 

II) Mostrare che 3 vettori sono linearmente dipendenti

 

III) Indipendenza lineare con il determinante

 

IV) Dipendenza lineare e combinazioni lineari

 

V) Valori di un parametro che rendono due vettori linearmente dipendenti

 

VI) Valori di un parametro per cui tre vettori sono linearmente indipendenti

 

VII) Studiare la lineare dipendenza di vettori parametrici

 

VIII) Studio dell'indipendenza lineare tra vettori noti norme e prodotti scalari

 

IX) Dimostrare che un insieme con due vettori coincidenti è linearmente dipendente

 

X) Indipendenza lineare di due matrici

 

XI) Studio dell'indipendenza lineare tra matrici parametriche

 

XII) Stabilire se un insieme di polinomi è linearmente dipendente o indipendente

 

XIII) Calcolare i valori di un parametro per cui quattro polinomi sono linearmente indipendenti

 

 

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Tags: scheda di esercizi svolti sull'indipendenza lineare e sulla dipendenza lineare di vettori, polinomi e matrici.