Esercizi sulle combinazioni lineari

State consultando la scheda di esercizi risolti sulle combinazioni lineari. Tutti gli esercizi di questa raccolta sono spiegati passaggio per passaggio, con tutti i calcoli e le osservazioni necessarie per giungere alla soluzione.

 

Gli esercizi sulle combinazioni lineari riguardano un altro concetto base della teoria di Algebra Lineare: la nozione di combinazione lineare, per l'appunto, a partire dalla quale vengono introdotte molte altre definizioni e risultati teorici. In parole povere si tratta di un vero e proprio fondamentale che è bene interiorizzare sin da subito.

 

Se volete consultare altri esercizi al riguardo, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: ci sono migliaia di esercizi svolti qui su YM. Al contrario, chi volesse ripassare e rivedere la definizione di combinazione lineare e diversi esempi guidati può ripartire dalla lezione correlata. ;)

 

Esercizi risolti sulle combinazioni lineari

 

I) Dati i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,2,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(3,-4,2)

 

e gli scalari a=2, \ b=-1, costruire tutte le possibile combinazioni lineari.

 

II) Scrivere una matrice che sia combinazione lineare delle matrici

 

A=\begin{pmatrix}1&-1&2 \\ 2&-4&3 \\ 1&0&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}-1&4&3 \\ 1&0&7 \\ 5&-2&1\end{pmatrix}

 

III) Dimostrare che una qualsiasi combinazione lineare tra i seguenti polinomi di \mathbb{R}_3[x]

 

p_1(x)=1+x+x^2-3x^3 \ \ ; \ \ p_2(x)=2-5x^2+x^3

 

è ancora un polinomio di \mathbb{R}_3[x].

 

IV) Scrivere il vettore \mathbf{w}=(1,0,2) come combinazione lineare dei vettori

 

\mathbf{v}_1=(0,2,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,1,1)

 

V) Esprimere la matrice

 

A=\begin{pmatrix}-2&3 \\ -5&4\end{pmatrix}

 

come combinazione lineare delle matrici

 

\\ B=\begin{pmatrix}1&0 \\ 2&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ C=\begin{pmatrix}0&-1 \\ 3 & 2\end{pmatrix} \\ \\ \\ D=\begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&3\end{pmatrix}

 

VI) Dire per quali scalari il polinomio

 

q(x)=2+4x+3x^2

 

è combinazione lineare dei polinomi

 

\\ p_1(x)=1+2x+3x^2 \ \ ; \ \ p_2(x)=3-2x^2 \\ \\ p_3(x)=3x+4x^2

 

VII) Stabilire se il vettore \mathbf{v}=(0,0,1) è combinazione lineare dei vettori \mathbf{v}_1=(1,1,0) e \mathbf{v}_2=(1,2,0) usando la definizione di combinazione lineare.

 

VIII) Usando la definizione, verificare che la matrice

 

A=\begin{pmatrix}8&-4 \\ -1 & 5\end{pmatrix}

 

è combinazione lineare delle matrici

 

\\ B=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 2&3\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ C=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ \\ \\ D=\begin{pmatrix}3 & 4 \\ -5 & 2\end{pmatrix}

 

e trovare i coefficienti della combinazione.

 

IX) Determinare per quali valori reali del parametro h il vettore \mathbf{u}=(2,2,3) è combinazione lineare di

 

\mathbf{v}_1=(h,2,3), \ \mathbf{v}_2=(2,h,1), \ \mathbf{v}_3=(h,2,1)

 

X) Stabilire per quali valori di k il polinomio q(x)=5+2x-x^2 è combinazione lineare dei polinomi

 

p_1(x)=1+2x^2 \ \ ; \ \ p_2(x)=2-kx+3x^2 \ \ ; \ \ p_3(x)=4-kx+7x^2

 

scegliendo la risposta esatta tra le seguenti:

 

(a) per ogni k \in \mathbb{R}

 

(b) per nessun valore di k

 

(c) per k=0

 

(d) per k \neq 0

 

(e) per k=-\frac{2}{11}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Costruire una combinazione lineare tra vettori

 

II) Determinare la matrice data dalla combinazione lineare di altre due

 

III) Dimostrare che una combinazione lineare di polinomi è ancora un polinomio

 

IV) Scrivere un vettore come combinazione lineare di altri vettori

 

V) Esprimere una matrice come combinazione lineare di altre matrici

 

VI) Calcolare gli scalari tali per cui un polinomio è combinazione lineare di altri polinomi

 

VII) Stabilire se un vettore è combinazione lineare di altri due

 

VIII) Verificare che una matrice è combinazione lineare di altre tre matrici

 

IX) Vettore come combinazione lineare di vettori parametrici

 

X) Quesito a risposta multipla su una combinazione lineare tra polinomi

 

 

Lezione correlata

 
 

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