Esercizi sulle quadriche

Per concludere la sezione di esercizi di Geometria dello Spazio del corso di Algebra Lineare e Geometria, ecco una raccolta di esercizi risolti sulle quadriche. Tutte le tracce elencate qui di seguito sono svolte e spiegate passo-passo, con tutti i calcoli e i commenti del caso.

 

Nota bene: nel corso di Geometria dello Spazio abbiamo trattato le quadriche in più riprese, e a tal proposito ci sono diverse lezioni che è bene aver letto prima di procedere nella risoluzione degli esercizi:

 

- quadriche

 

- classificazione delle quadriche

 

Oltre ad esse, vi raccomandiamo anche gli approfondimenti dedicati a ellissoide, iperboloide e paraboloide. ;)

 

Esercizi risolti sulle quadriche

 

I) Scrivere le matrici associate alle quadriche definite dalle seguenti equazioni:

 

\\ \mathrm{Q}_1:\ 2x^2-y^2+z^2-3=0 \\ \\ \mathrm{Q}_2:\ 2xy+4xz-2yz-1=0 \\ \\ \mathrm{Q}_3:\ x^2+2y^2-z^2+2xy-xz-3yz-1=0\\ \\ \mathrm{Q}_4:\ x^2-x+2y-2z+1=0

 

II) Si considerino le seguenti equazioni, che individuano quadriche nello spazio tridimensionale:

 

\\ (a) \ \ \ \mathrm{Q}_1:\ 4x^2+9z^2+8x z+6z+2=0 \\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{Q}_2:\ x^2-y^2+z^2+2xy-2xz+4=0 \\ \\ (c)\ \ \ \mathrm{Q}_3: \ x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz-4x+4y+4z+4=0 \\ \\ (d) \ \ \ \mathrm{Q}_{4}:\ 2y^2-2xy-2xz+2yz-x+y=0

 

Scrivere le matrici associate a \mathrm{Q}_1,\, \mathrm{Q}_2,\, \mathrm{Q}_{3},\, \mathrm{Q}_{4} e classificare le quadriche in generali, speciali, semplicemente degeneri e doppiamente degeneri.

 

III) Mostrare che la quadrica \mathrm{Q} di equazione

 

\mathrm{Q}:\ x^2+z^2-2x-4z+5=0

 

è semplicemente degenere e si spezza in due piani complessi e incidenti.

 

IV) Si classifichi la quadrica \mathrm{Q} di equazione

 

\mathrm{Q}:\ z^2+2xz+2yz+2y=0

 

V) Mostrare che l'equazione

 

\mathrm{Q}:\ x^2+y^2-z^2+4xy+2z-1=0

 

identifica una quadrica speciale e in particolare individua un cono reale.

 

VI) Dopo aver esplicitato le matrici associate, classificare la quadrica \mathrm{Q} di equazione

 

\mathrm{Q}:\ x^2+2y^2-z^2-4xy-2xz+6x-4y+2z+1=0

 

VII) Classificare la quadrica \mathrm{Q} di equazione

 

\mathrm{Q}: \ z^{2}-8xy+2xz-4yz+3x+4z+1=0

 

dopo aver scritto le matrici associate.

 

VIII) Si consideri la quadrica \mathrm{Q} descritta dall'equazione

 

\mathrm{Q}:\ x^2+y^2+2xy+2xz+z+1=0

 

Classificare la quadrica dopo aver esplicitato le matrici associate.

 

IX) Dopo aver ricavato le matrici associate, classificare la quadrica \mathrm{Q} di equazione in coordinate omogenee

 

\mathrm{Q}:\ 2x_1x_2+2x_1x_3-4x_2x_3+3x_4^2=0

 

X) Mostrare che l'equazione in coordinate omogenee

 

\mathrm{Q}:\ x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-8x_1x_4-8x_2x_4=0

 

individua un cilindro parabolico.

 

XI) Dimostrare che la quadrica \mathrm{Q} di equazione in coordinate omogenee

 

\mathrm{Q}:\ x_1^2+x_3^2-2x_1x_3+6x_1x_4-6x_3x_4+8x_4^2=0

 

è semplicemente degenere e che si spezza in due piani reali e paralleli.

 

XII) Si consideri il fascio di quadriche \mathrm{Q}_{k} definito dall'equazione

 

\\ \mathrm{Q}_{k}:\ (2k-3)x^2+8(k-1)y^2+9(k-1)z^2+16(1-k)yz+\\ \\ +16(k-1)y+16(1-k)z+7k-6=0

 

dove k\in\mathbb{R}. Classificare le quadriche del fascio in generale, speciale, semplicemente degenere e doppiamente degenere.

 

XIII) Classificare la famiglia di quadriche \mathrm{Q}_{k} di equazione

 

\mathrm{Q}_k:\ 2x^{2}+ (1+k)y^{2}-4(1+k)yz+5(1+k)z^{2}+4x-2y+4z+3=0

 

al variare del parametro reale k.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio sulle matrici associate a una quadrica 

 

II) Esercizio su matrici associate e classificazione delle quadriche

 

III) Esercizio su quadrica semplicemente degenere

 

IV) Esercizio sulla classificazione di una quadrica

 

V) Mostrare che una equazione individua un cono reale

 

VI) Esercizio: classificare una quadrica semplicemente degenere

 

VII) Matrice associata e tipo di quadrica

 

VIII) Esercizio sullo studio di una quadrica

 

IX) Classificazione di una quadrica in coordinate omogenee

 

X) Esercizio quadrica in coordinate omogenee come cilindro parabolico

 

XI) Esercizio: dimostrare che una quadrica si spezza in due piani paralleli

 

XII) Esercizio sullo studio di un fascio di quadriche

 

XIII) Studiare un fascio di quadriche al variare di un parametro

 

 

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