Esercizi sui fasci di coniche

Siamo giunti, infine, agli esercizi svolti sui fasci di coniche. In questa pagina vi proponiamo una selezione di tracce risolte e spiegate in ogni singolo passaggio, con tutti i calcoli necessari per giungere alla soluzione.

 

La scheda di esercizi sui fasci di coniche è l'ultima tra quelle del mini-corso dedicato alle coniche nel contesto della Geometria dello Spazio (argomento che rientra in Algebra Lineare e Geometria, per universitari).

 

A vostro uso e consumo, ecco l'elenco completo delle schede disponibili sull'argomento; da ciascuna di esse potrete risalire velocemente alla corrispondente lezione:

 

- esercizi sulle coniche (introduttivi)

 

- esercizi sulla classificazione delle coniche

 

- esercizi su polarità di una conica, polo e retta polare

 

- esercizi sullo studio delle coniche

 

- esercizi sulla riduzione alla forma canonica

 

- esercizi sui fasci di coniche (quella che state leggendo)

 

Esercizi risolti sulla classificazione delle coniche di un fascio

 

I) Classificare le coniche del fascio di equazione

 

\mathrm{F}:\ kx^2+ky^2-2kxy-4kx+2y-k+2=0

 

II) Data l'equazione del fascio di coniche

 

\mathrm{F}:\ x^2+2(k+1)y^2-2(1+k)xy-4k-5=0

 

(a) determinare le equazioni delle coniche \mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2 che generano il fascio;

 

(b) calcolare i punti base del fascio e classificarlo;

 

(c) classificare le coniche del fascio al variare del parametro k\in\mathbb{R}.

 

III) Studiare il fascio di coniche

 

\mathrm{F}:\ k x^{2}-2xy+ky^2-2y^{2}-4k=0

 

al variare di k\in\mathbb{R}, classificando esclusivamente le coniche non degeneri.

 

IV) Si consideri l'usuale sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y). Scrivere l'equazione della conica \mathrm{C} passante per l'origine O(0,0) e per i punti

 

A(0,1) ,\ B(2,0) ,\ C(1,2),\ D(2,1)

 

con il metodo dei fasci.

 

V) Determinare l'equazione della conica \mathrm{C} tangente in O(0,0) alla retta

 

t:\ x+y=0

 

e passante per i punti A(0,1),\ B(2,0),\ C(2,1).

 

VI) Determinare e studiare il fascio di coniche tangenti alle rette

 

t:\ x-y+4=0\\ \\ u:\ x-y-4=0

 

rispettivamente nei punti A(-2,2) e B(2,-2). Stabilire se esistono iperboli appartenenti al fascio.

 

VII) Scrivere l'equazione del fascio di coniche tangenti alla retta

 

r:\ x-y+2=0

 

nel punto A(2,4) e alla retta

 

s:\ x+y-2=0

 

nel punto B(2,0). Classificare inoltre le coniche del fascio.

 

VIII) Studiare il fascio di coniche aventi come asse di simmetria la retta

 

r:\ x+y=0

 

e passanti per i punti A(1,-1) e B(-1,1).

 

IX) Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale RC(O,x,y). Scrivere l'equazione del fascio di coniche \mathrm{F}, aventi come asse di simmetria la retta

 

r:\ x-4=0

 

e passanti per i punti C(4,5),\ O(0,0),\ E(8,0). Stabilire se esistono circonferenze appartenenti al fascio.

 

X) Sia \mathrm{C} la conica passante per i punti

 

A(1,0),\ B(1,1),\ C(2,1),\ D(3,0),\ P(3,1+2\alpha)

 

(a) Se \mathrm{C} è degenere, determinare il numero reale \alpha e le rette costituenti \mathrm{C}.

 

(b) Se \mathrm{C} è una parabola, quanto vale \alpha?

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Studiare un fascio di coniche con parametro

 

II) Coniche generatrici, punti base e classificazione di un fascio di coniche

 

III) Esercizio sullo studio di un fascio di coniche

 

IV) Conica passante per 5 punti con fascio di coniche secanti

 

V) Conica nota retta tangente e tre punti di passaggio col metodo dei fasci

 

VI) Equazione e studio di un fascio di coniche bitangenti

 

VII) Classificazione di un fascio di coniche bitangenti

 

VIII) Equazione di un fascio di coniche noto l'asse di simmetria e due punti di passaggio

 

IX) Equazione del fascio di coniche passanti per tre punti dato l'asse di simmetria

 

X) Conica passante per cinque punti, di cui uno con parametro

 

 

Lezione correlata

 
 

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