Esercizi sulla distanza tra due piani

State leggendo la scheda di esercizi sulla distanza tra due piani nello spazio. Tutti gli esercizi che potete consultare a partire da questa pagina sono interamente risolti, spiegati passaggio per passaggio ed elencati per livelli di difficoltà crescente.

 

A proposito di calcolo della distanza tra enti geometrici nello spazio, qui su YM ci sono diverse altre schede di esercizi svolti che permettono di avere una preparazione completa sull'argomento:

 

esercizi sulla distanza tra due punti nello spazio;

 

- esercizi sulla distanza punto-piano;

 

esercizi sulla distanza punto-retta nello spazio;

 

esercizi sulla distanza tra due rette nello spazio;

 

- esercizi sulla distanza tra due piani (quella che state leggendo);

 

esercizi sulla distanza retta-piano.

 

Nel contempo potete ripassare la teoria, le formule e tutti i metodi di risoluzione degli esercizi leggendo la lezione sulla distanza tra due piani. ;) 

 

Esercizi risolti sulla distanza tra piani

 

I) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano ortogonale RC(O,x,y) nel piano, si considerino le equazioni dei piani paralleli

 

\\ \pi_1:\ x+2y+1=0 \\ \\ \pi_2:\ x+2y-1=0

 

Calcolare la distanza tra i piani \pi_1\ \mbox{e} \ \pi_2.

 

II) Trovare la distanza fra due piani paralleli di equazioni cartesiane:

 

\\ \pi_1:\ 2x-3y+6z-14=0\\ \\ \pi_2:\ 4x-6y+12z+21=0

 

 

III) Calcolare la distanza tra i piani \pi_1,\pi_2 di equazioni parametriche

 

\\ \pi_1:\ \begin{cases}x=1+2s+3t\\ y=2s-2t\\ z=s\end{cases}\ \ \ \mbox{con}\ s,t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ \pi_2:\ 2x+3y-10z-3=0

 

IV) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y,z ) nello spazio, si considerino i piani descritti mediante le equazioni vettoriali

 

\\ \pi_1:\ (x,y,z)=(1,0,1)+s(1,0,1)+t(0,1,1) \ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R} \\ \\ \pi_2:\ (x,y,z)=(1,2,0)+s(1,1,2)+t(1,-1,0)\ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

 

Dopo averne stabilito la posizione reciproca, determinare la distanza tra i due piani.

 

V) Dopo aver stabilito la mutua posizione, calcolare la distanza tra i piani di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1: \ 3x+2y-z=1\\ \\ \pi_2:\ x+y-z=2

 

VI) Fissato nello spazio l'usuale sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y,z ), si considerino i piani \pi_1\ \mbox{e} \ \pi_2 di equazioni

 

\\ \pi_1: \ x-2y-z-1=0 \\ \\ \pi_2:\ (x,y,z)=(2,1,-1)+s(2,1,0)+t(1,0,1)\ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

 

(a) Studiare la mutua posizione dei due piani.

 

(b) Calcolare la distanza d(\pi_1,\pi_2).

 

VII) Sia \pi_1 il piano di equazione cartesiana

 

\pi_1:\ 2x+2y-2z+6\sqrt{3}=0

 

e sia \pi_2 il piano passante per l'origine del sistema di riferimento e per i punti A(1,0,1) e B(1,1,2)

 

(a) Scrivere una rappresentazione cartesiana di \pi_2;

 

(b) Dimostrare che i piani sono paralleli;

 

(c) Calcolare la distanza tra i piani.

 

VIII) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano Oxyz nello spazio \mathbb{R}^3, si consideri il piano \pi di equazione cartesiana

 

\pi:\ x+2y-2=0

 

Scrivere le equazioni dei piani \pi_1\ \mbox{e} \ \pi_2 paralleli a \pi e che distano 2 da questo piano.

 

IX) Sia \pi_1 il piano passante per A(1,1,0) e normale al vettore \mathbf{v}=(-2,1,1), e sia \pi_2 il piano parallelo a \pi_1 e passante per l'origine.

 

Scrivere le equazioni cartesiane dei due piani e calcolare la loro distanza.

 

X) Sia \pi_1 il piano di equazione cartesiana

 

\pi_1:\ x+2y-z+3=0

 

e siano \alpha\ \mbox{e} \ \beta di equazioni

 

\\ \alpha:\ x+y=0 \\ \\ \beta:\ x+z+1=0

 

Determinare l'equazione del piano \pi_2 appartenente al fascio di piani generato da \alpha \ \mbox{e} \ \beta e parallelo a \pi_1. Calcolare in seguito la distanza tra \pi_1\ \mbox{e} \ \pi_2.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare la distanza tra due piani paralleli 

 

II) Esercizio di calcolo della distanza tra piani paralleli

 

III) Distanza tra due piani in forma parametrica e cartesiana

 

IV) Posizione e distanza tra due piani mediante equazioni parametriche

 

V) Posizione e distanza tra due piani mediante equazioni cartesiane

 

VI) Posizione e distanza tra due piani mediante equazioni miste

 

VII) Esercizio completo sulla distanza tra piani paralleli

 

VIII) Piani paralleli a un piano con distanza fissata

 

IX) Distanza tra due piani per un punto con vettore normale

 

X) Esercizio con fascio di piani e distanza tra due piani

 

 

Lezione correlata

 
 

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