Esercizi sulla riduzione alla forma canonica delle coniche
Partendo da questa pagina potete consultare (e cimentarvi con) una raccolta di esercizi svolti sulla riduzione alla forma canonica delle coniche. Le tracce elencate qui di seguito sono interamente risolte e commentate nel dettaglio, senza omettere alcun passaggio. ;)
Se volete ripassare la teoria, potete dare un'occhiata alle lezioni correlate sulla forma canonica di una conica e sul metodo degli invarianti.
Per tutto il resto, ecco la scaletta delle schede di esercizi relativi alle coniche e disponibili per il corso di Geometria dello Spazio; a partire da ciascuna di essa potrete inoltre consultare la lezione di teoria correlata:
- esercizi sulle coniche (introduttivi)
- esercizi sulla classificazione delle coniche
- esercizi su polarità di una conica, polo e retta polare
- esercizi sullo studio delle coniche
- esercizi sulla riduzione alla forma canonica (quella che state leggendo)
- esercizi sui fasci di coniche
Esercizi svolti sulla riduzione delle coniche alla forma canonica
I) Dopo aver classificato la conica 
di equazione cartesiana
Determinare una matrice di rotazione e la traslazione che consentono di ridurre l'equazione in forma canonica.
II) Data l'equazione della conica
ridurla alla forma canonica determinando la matrice di rotazione e la traslazione.
III) Data la conica descritta dall'equazione
(a) classificare la conica;
(b) ridurre la conica alla forma canonica, esplicitando sia la matrice di rotazione, sia la traslazione utilizzate.
IV) Usare il metodo della rototraslazione per ricondurre alla forma canonica la conica descritta dall'equazione cartesiana:
V) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano 
nel piano, si consideri la conica definita dall'equazione
(a) Classificare e ridurre alla forma canonica .
(b) Determinare i punti notevoli della conica avvalendosi della rototraslazione usata per la riduzione.
VI) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano nel piano, si consideri la conica di equazione:
Classificare la conica e usare il metodo degli invarianti per ricondurla alla forma canonica.
VII) Fissato l'usuale sistema di rifermento cartesiano ortogonale , classificare e ridurre in forma canonica la conica di equazione
usando il metodo degli invarianti.
VIII) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano nel piano, si consideri la conica di equazione:
Verificare che è una parabola e scrivere l'equazione canonica associata.
IX) Nel piano, munito dell'usuale sistema di riferimento cartesiano , è data la conica di equazione cartesiana
(a) Dimostrare che è una parabola.
(b) Ridurre alla forma canonica la conica, facendo in modo che l'asse della parabola coincida con l'asse 
del riferimento canonico 
.
X) Nel piano, munito dell'usuale sistema di riferimento cartesiano , è data la conica di equazione
dove 
è un parametro reale.
(a) Classificare la conica 
, al variare di 
.
(b) Usare il metodo degli invarianti per ridurre la conica alla forma canonica.
Svolgimenti e soluzioni
I) Riduzione alla forma canonica di una conica con il metodo della rototraslazione
II) Riduzione di un'iperbole in forma canonica con il metodo della rototraslazione
III) Riduzione di una parabola alla forma canonica con il metodo della rototraslazione
IV) Riduzione di un'ellisse alla forma canonica: metodo della rototraslazione
V) Studio di una conica con il metodo del cambiamento di coordinate
VI) Riduzione alla forma canonica di un'iperbole con il metodo degli invarianti
VII) Riduzione alla forma canonica di un'ellisse con il metodo degli invarianti
VIII) Riduzione alla forma canonica di una parabola con il metodo degli invarianti
IX) Equazione canonica di una parabola con il metodo degli invarianti
X) Forma canonica di una conica con parametro e metodo degli invarianti
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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