Esercizi sulla riduzione alla forma canonica delle coniche

Partendo da questa pagina potete consultare (e cimentarvi con) una raccolta di esercizi svolti sulla riduzione alla forma canonica delle coniche. Le tracce elencate qui di seguito sono interamente risolte e commentate nel dettaglio, senza omettere alcun passaggio. ;)

 

Se volete ripassare la teoria, potete dare un'occhiata alle lezioni correlate sulla forma canonica di una conica e sul metodo degli invarianti.

 

Per tutto il resto, ecco la scaletta delle schede di esercizi relativi alle coniche e disponibili per il corso di Geometria dello Spazio; a partire da ciascuna di essa potrete inoltre consultare la lezione di teoria correlata:

 

- esercizi sulle coniche (introduttivi)

 

- esercizi sulla classificazione delle coniche

 

- esercizi su polarità di una conica, polo e retta polare

 

- esercizi sullo studio delle coniche

 

- esercizi sulla riduzione alla forma canonica (quella che state leggendo)

 

- esercizi sui fasci di coniche

 

Esercizi svolti sulla riduzione delle coniche alla forma canonica

 

I) Dopo aver classificato la conica mathrmC di equazione cartesiana

 

mathrmC: 4x^2+y^2-2x+4y-1 = 0

 

Determinare una matrice di rotazione e la traslazione che consentono di ridurre l'equazione in forma canonica.

 

II) Data l'equazione della conica

 

mathrmC: 2x^2+12xy+2y^2+4x+2y+1 = 0

 

ridurla alla forma canonica determinando la matrice di rotazione e la traslazione.

 

III) Data la conica descritta dall'equazione

 

mathrmC: x^2+y^2-2x y+4y = 0

 

(a) classificare la conica;

 

(b) ridurre la conica alla forma canonica, esplicitando sia la matrice di rotazione, sia la traslazione utilizzate.

 

IV) Usare il metodo della rototraslazione per ricondurre alla forma canonica la conica mathrmC descritta dall'equazione cartesiana:

 

mathrmC: 8x^2+5y^2-4xy-8x-16y-16 = 0

 

V) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y) nel piano, si consideri la conica mathrmC definita dall'equazione

 

mathrmC: x^2+y^2+4xy-6x-6y+7 = 0

 

(a) Classificare e ridurre alla forma canonica mathrmC.

 

(b) Determinare i punti notevoli della conica avvalendosi della rototraslazione usata per la riduzione.

 

VI) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y) nel piano, si consideri la conica mathrmC di equazione:

 

mathrmC: x^2-4xy-2y^2-6 = 0

 

Classificare la conica e usare il metodo degli invarianti per ricondurla alla forma canonica.

 

VII) Fissato l'usuale sistema di rifermento cartesiano ortogonale RC(O,x,y), classificare e ridurre in forma canonica la conica mathrmC di equazione

 

mathrmC: 5x^2+5y^2-6xy+16√(2)x+38 = 0

 

usando il metodo degli invarianti.

 

VIII) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y) nel piano, si consideri la conica mathrmC di equazione:

 

mathrmC: x^2+y^2-2xy-2y-3 = 0

 

Verificare che mathrmC è una parabola e scrivere l'equazione canonica associata.

 

IX) Nel piano, munito dell'usuale sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y), è data la conica mathrmC di equazione cartesiana

 

mathrmC: x^2+y^2-2xy+2x-4y+3 = 0

 

(a) Dimostrare che mathrmC è una parabola.

 

(b) Ridurre alla forma canonica la conica, facendo in modo che l'asse della parabola coincida con l'asse X del riferimento canonico RC(O',X,Y).

 

X) Nel piano, munito dell'usuale sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y), è data la conica di equazione

 

mathrmC_(k): x^2+y^2+2k x y+2kx = 0

 

dove k è un parametro reale.

 

(a) Classificare la conica C_(k), al variare di k∈R.

 

(b) Usare il metodo degli invarianti per ridurre la conica alla forma canonica.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Riduzione alla forma canonica di una conica con il metodo della rototraslazione 

 

II) Riduzione di un'iperbole in forma canonica con il metodo della rototraslazione

 

III) Riduzione di una parabola alla forma canonica con il metodo della rototraslazione

 

IV) Riduzione di un'ellisse alla forma canonica: metodo della rototraslazione

 

V) Studio di una conica con il metodo del cambiamento di coordinate

 

VI) Riduzione alla forma canonica di un'iperbole con il metodo degli invarianti

 

VII) Riduzione alla forma canonica di un'ellisse con il metodo degli invarianti

 

VIII) Riduzione alla forma canonica di una parabola con il metodo degli invarianti

 

IX) Equazione canonica di una parabola con il metodo degli invarianti

 

X) Forma canonica di una conica con parametro e metodo degli invarianti

 

 

Lezione correlata.....Lezione correlata

 
 

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