Esercizi sullo studio delle coniche

Benvenuti nella scheda di esercizi svolti sullo studio delle coniche. Le tracce di questa raccolta sono interamente risolte e spiegate passo dopo passo, con tutti i calcoli e i commenti del caso.

 

Dopo aver affrontato le definizioni e i concetti base relativi alle coniche possiamo finalmente occuparci dello studio delle coniche. La procedura di studio delle coniche è estremamente utile sia in termini teorici che pratici, perché permette di inquadrare tutte le nozioni viste fin qui in un unico colpo d'occhio.

 

Un breve riepilogo delle schede di esercizi che abbiamo già trattato e che tratteremo in seguito:

 

- esercizi sulle coniche (introduttivi)

 

- esercizi sulla classificazione delle coniche

 

- esercizi su polarità di una conica, polo e retta polare

 

- esercizi sullo studio delle coniche (quella che state leggendo)

 

- esercizi sulla riduzione alla forma canonica

 

- esercizi sui fasci di coniche

 

Esercizi risolti sullo studio delle coniche

 

I) Studiare la conica descritta dall'equazione

 

\mathrm{C}:\ x^2+16y^2-8xy-6x+24y+9=0

 

II) Studiare la conica \mathrm{C} descritta dall'equazione

 

\mathrm{C}:\ 5x^2+4xy+y^2-2x+1=0

 

III) Studiare la conica \mathrm{C}, di equazione

 

\mathrm{C}:\ 9x^2+4y^2+12xy-12x-8y+3=0

 

IV) Data l'equazione

 

\mathrm{C}:\ x^2-8y^2+2xy-2x+10y-3=0

 

studiare la conica che l'equazione definisce e, nel caso in cui sia degenere, determinare le equazioni delle rette in cui si spezza.

 

V) Data l'equazione della conica

 

\mathrm{C}: \ xy+x+y=0

 

determinare il centro, gli asintoti, gli assi di simmetria, i vertici, i fuochi e le direttrici di \mathrm{C}.

 

VI) Si consideri l'equazione della conica \mathrm{C}

 

\mathrm{C}:\ x^2+y^2-2xy-8x-8y-32=0

 

Determinare:

 

- le coordinate del centro, del vertice e dei fuochi;

 

- le equazioni degli assi di simmetria;

 

- le equazioni degli asintoti, se \mathrm{C} ne è provvista;

 

- le equazioni delle direttrici.

 

VII) Sia data l'equazione della conica non degenere \mathrm{C}

 

\mathrm{C}:\ 3x^2+3y^2-2xy-2x-2y-1=0

 

Dopo aver classificato la conica, determinare:

 

- le coordinate del centro, dei vertici e dei fuochi;

 

- le equazioni degli assi, degli asintoti e delle direttrici.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Studio di una conica doppiamente degenere 

 

II) Conica semplicemente degenere in due rette immaginarie e coniugate

 

III) Conica degenere in due rette parallele, reali e distinte

 

IV) Conica degenere che si spezza in due rette reali e incidenti

 

V) Studio completo di una conica non degenere: iperbole

 

VI) Studio completo di una conica non degenere: parabola

 

VII) Studio completo di una conica: ellisse

 

 

Lezione correlata

 
 

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