Esercizi su polarità, polo e retta polare delle coniche

In questa pagina proponiamo una selezione di esercizi risolti su polarità, polo e retta polare delle coniche. Gli esercizi sono ordinati per livelli di difficoltà crescenti, e sono corredati da svolgimenti completi e dettagliati.

 

Per le definizioni, i metodi di risoluzione degli esercizi e alcuni esempi svolti vi rimandiamo alla lezione correlata: polarità di una conica, polo e retta polare.

 

In termini più generali, nel corso di Geometria dello Spazio abbiamo trattato le coniche nel dettaglio, proponendo tutte le definizioni e i metodi di studio e classificazione. Se volete effettuare un ripasso o approfondire l'argomento potete dare uno sguardo alle altre schede di esercizi, da cui è possibile risalire alla rispettive lezioni correlate:

 

- esercizi sulle coniche (introduttivi)

 

- esercizi sulla classificazione delle coniche

 

- esercizi su polarità di una conica, polo e retta polare (quella che state leggendo)

 

- esercizi sullo studio delle coniche

 

- esercizi sulla riduzione alla forma canonica

 

- esercizi sui fasci di coniche

 

Esercizi risolti su polo, polarità e retta polare delle coniche

 

I) Sia dato il punto P(1,2) del piano su cui è fissato l'usuale sistema di riferimento Oxy. Determinare la retta polare del punto P rispetto alla conica non degenere \mathrm{C} definita dall'equazione:

 

\mathrm{C}:\ x^2+y^2+2x=0

 

II) Si consideri l'equazione in coordinate non omogenee

 

\mathrm{C}:\ 2x^2+y^2+2xy-1=0

 

Dopo aver classificato la conica \mathrm{C}, scrivere l'equazione della retta polare del punto P(-1,-1) rispetto alla conica.

 

III) Data l'equazione della conica \mathrm{C}

 

\mathrm{C}:\ 2x^2-y^2+2xy-1=0

 

scrivere l'equazione della retta polare del punto P(3,2) riferita alla conica.

 

IV) Dopo aver classificato la conica \mathrm{C} di equazione

 

\mathrm{C}:\ x^2+y^2+2x y+2 y=0

 

determinare l'equazione della retta polare del punto P(1,2) rispetto alla conica.

 

V) Si consideri l'equazione della conica

 

\mathrm{C}:\ 2x^2+y^2+2x y-4x+2y-1=0 

 

Calcolare la retta polare del punto P(3,-4) rispetto a \mathrm{C}.

 

VI) Dopo aver classificato la conica \mathrm{C} di equazione

 

\mathrm{C}:\ x^2+y^2+8xy-1=0

 

determinare la retta polare p del punto improprio P(1,2,0) rispetto a \mathrm{C}.

 

VII) Si consideri la conica \mathrm{C} di equazione in coordinate omogenee

 

\mathrm{C}:\ 2x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2x_1x_3-4x_3^2=0

 

Dopo aver verificato che \mathrm{C} è una conica generale, scrivere l'equazione della retta polare del punto improprio P(1,-1,0) rispetto a \mathrm{C}.

 

VIII) Siano \mathrm{C} e p la conica e la retta di equazioni

 

\\ \mathrm{C}:\ x^2+y^2+4x-2y+1=0 \\ \\ p:\ 2x+y+1=0

 

Calcolare il polo della retta p rispetto alla conica \mathrm{C}.

 

IX) Sia \mathrm{C} la conica non degenere di equazione

 

\mathrm{C}:\ x_1^2+x_2^2+4x_1x_2-2x_2x_3=0

 

e p la retta di equazione

 

p:\ 2x_1+2x_2+x_3=0

 

Determinare il polo della retta p rispetto alla conica \mathrm{C}.

 

X) Data l'equazione della conica non degenere

 

\mathrm{C}:\ x^2+2y^2+4x-4y-1=0

 

e l'equazione della retta p

 

p:\ x-y+3=0

 

determinare le coordinate del polo della retta p rispetto alla conica \mathrm{C}.

 

 

Svolgimento e soluzioni

 

I) Retta polare di un punto rispetto a una conica non degenere 

 

II) Retta polare di punto rispetto a un'ellisse

 

III) Retta polare di un punto riferita a un'iperbole

 

IV) Retta polare di un punto rispetto a una parabola

 

V) Polare impropria di un punto rispetto a un'ellisse

 

VI) Polare di un punto improprio del piano ampliato rispetto a una conica

 

VII) Polare di un punto improprio di una conica in coordinate non omogenee

 

VIII) Polo di una retta rispetto a una conica

 

IX) Polo di una retta rispetto a una conica in coordinate omogenee

 

X) Polo improprio di una retta rispetto a una conica in coordinate non omogenee

 

 

Lezione correlata

 
 

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