Esercizi su polarità, polo e retta polare delle coniche

In questa pagina proponiamo una selezione di esercizi risolti su polarità, polo e retta polare delle coniche. Gli esercizi sono ordinati per livelli di difficoltà crescenti, e sono corredati da svolgimenti completi e dettagliati.

Per le definizioni, i metodi di risoluzione degli esercizi e alcuni esempi svolti vi rimandiamo alla lezione correlata: polarità di una conica, polo e retta polare.

In termini più generali, nel corso di Geometria dello Spazio abbiamo trattato le coniche nel dettaglio, proponendo tutte le definizioni e i metodi di studio e classificazione. Se volete effettuare un ripasso o approfondire l'argomento potete dare uno sguardo alle altre schede di esercizi, da cui è possibile risalire alla rispettive lezioni correlate:

- esercizi sulle coniche (introduttivi)

- esercizi sulla classificazione delle coniche

- esercizi su polarità di una conica, polo e retta polare (quella che state leggendo)

- esercizi sullo studio delle coniche

- esercizi sulla riduzione alla forma canonica

- esercizi sui fasci di coniche

Esercizi risolti su polo, polarità e retta polare delle coniche

I) Sia dato il punto del piano su cui è fissato l'usuale sistema di riferimento . Determinare la retta polare del punto rispetto alla conica non degenere $\mathrm{C}$ definita dall'equazione:

$\mathrm{C}:\ x^2+y^2+2x=0$

II) Si consideri l'equazione in coordinate non omogenee

$\mathrm{C}:\ 2x^2+y^2+2xy-1=0$

Dopo aver classificato la conica $\mathrm{C}$ , scrivere l'equazione della retta polare del punto rispetto alla conica.

III) Data l'equazione della conica $\mathrm{C}$

$\mathrm{C}:\ 2x^2-y^2+2xy-1=0$

scrivere l'equazione della retta polare del punto riferita alla conica.

IV) Dopo aver classificato la conica $\mathrm{C}$ di equazione

$\mathrm{C}:\ x^2+y^2+2x y+2 y=0$

determinare l'equazione della retta polare del punto rispetto alla conica.

V) Si consideri l'equazione della conica

$\mathrm{C}:\ 2x^2+y^2+2x y-4x+2y-1=0$

Calcolare la retta polare del punto rispetto a $\mathrm{C}.$

VI) Dopo aver classificato la conica $\mathrm{C}$ di equazione

$\mathrm{C}:\ x^2+y^2+8xy-1=0$

determinare la retta polare del punto improprio rispetto a $\mathrm{C}$ .

VII) Si consideri la conica $\mathrm{C}$ di equazione in coordinate omogenee

$\mathrm{C}:\ 2x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2x_1x_3-4x_3^2=0$

Dopo aver verificato che $\mathrm{C}$ è una conica generale, scrivere l'equazione della retta polare del punto improprio rispetto a $\mathrm{C}$ .

VIII) Siano $\mathrm{C}$ e la conica e la retta di equazioni

$\\ \mathrm{C}:\ x^2+y^2+4x-2y+1=0 \\ \\ p:\ 2x+y+1=0$

Calcolare il polo della retta rispetto alla conica $\mathrm{C}$ .

IX) Sia $\mathrm{C}$ la conica non degenere di equazione

$\mathrm{C}:\ x_1^2+x_2^2+4x_1x_2-2x_2x_3=0$

e la retta di equazione

$p:\ 2x_1+2x_2+x_3=0$

Determinare il polo della retta rispetto alla conica $\mathrm{C}$ .

X) Data l'equazione della conica non degenere

$\mathrm{C}:\ x^2+2y^2+4x-4y-1=0$

e l'equazione della retta

$p:\ x-y+3=0$

determinare le coordinate del polo della retta rispetto alla conica $\mathrm{C}$ .

Svolgimento e soluzioni

I) Retta polare di un punto rispetto a una conica non degenere

II) Retta polare di punto rispetto a un'ellisse

III) Retta polare di un punto riferita a un'iperbole

IV) Retta polare di un punto rispetto a una parabola

V) Polare impropria di un punto rispetto a un'ellisse

VI) Polare di un punto improprio del piano ampliato rispetto a una conica

VII) Polare di un punto improprio di una conica in coordinate non omogenee

VIII) Polo di una retta rispetto a una conica

IX) Polo di una retta rispetto a una conica in coordinate omogenee

X) Polo improprio di una retta rispetto a una conica in coordinate non omogenee

Tags: scheda di esercizi risolti su retta polare, polo e polarità delle coniche - raccolta di esercizi svolti su polo, polarità e retta polare.