Esercizi sulla classificazione delle coniche

State consultando la scheda di esercizi risolti sulla classificazione delle coniche. Questa raccolta propone una serie di tracce interamente svolte e spiegate in ogni singolo passaggio, con tutti i calcoli necessari per arrivare alla soluzione.

 

Attenzione: le coniche vengono affrontate per la prima volta nel triennio delle scuole superiori, dopodiché vengono riprese e approfondite nei corsi universitari di Algebra Lineare e Geometria. Se avete già letto la lezione sul metodo di classificazione delle coniche, potete cimentarvi con gli esercizi elencati in questa pagina; in caso contrario, vi raccomandiamo di ripartire dalla teoria. ;)

 

Ci sono diverse altre schede riguardanti le coniche in Geometria dello Spazio; eccone l'elenco ordinato in sequenza:

 

- esercizi sulle coniche (introduttivi)

 

- esercizi sulla classificazione delle coniche (quella che state leggendo)

 

- esercizi su polarità di una conica, polo e retta polare

 

- esercizi sullo studio delle coniche

 

- esercizi sulla riduzione alla forma canonica

 

- esercizi sui fasci di coniche

 

Esercizi risolti sulla classificazione delle coniche

 

I) Fissato l'usuale sistema di riferimento RC(O,x,y) nel piano, stabilire se le seguenti equazioni di coniche individuano coniche degeneri o non degeneri:

 

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ x^2+xy-y+1=0\\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ 2x^2+3y^2-7xy-3x-y-2=0 \\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ x^2+y^2+2x-2y-1=0

 

II) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano Oxy nel piano, classificare la conica \mathrm{C} di equazione:

 

\mathrm{C}:\ x^2+3x y+2y^2+x+2y=0

 

III) Si fissi l'usuale sistema di riferimento cartesiano Oxy nel piano. Verificare che la conica \mathrm{C} di equazione

 

\mathrm{C}:\ -2x^2+y^2+3x-4y+1=0

 

individua un'iperbole.

 

IV) Si consideri il piano munito dell'usuale sistema di riferimento Oxy. Classificare la conica \mathrm{C} descritta dall'equazione:

 

\mathrm{C}:\ 6x^2+y^2+2xy+4x+2y+2=0

 

V) Classificare la conica \mathrm{C}_1 di equazione:

 

\mathrm{C}_1:\ x^2+y^2-2x y+2x-2y+1=0

 

VI) Classificare le coniche degeneri definite dalle equazioni

 

\\ (a)\ \ \ \mathrm{C}_1:\ x^2+3y^2+3xy+2x+3y+1=0 \\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ 4x^2+y^2-4xy-1=0\\ \\ (c)\ \ \ \mathrm{C}_3:\ 2x^2+2y^2-5xy+x+y-1=0

 

VII) Sia h\in\mathbb{R} e sia \mathrm{C} la conica di equazione:

 

\mathrm{C}:\ hx^2+2hxy+y^2-4x-2y=0

 

Dire di che tipo di conica si tratta al variare del parametro h.

 

VIII) Stabilire se le seguenti equazioni in coordinate omogenee individuano coniche degeneri o coniche non degeneri.

 

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ 2x_1^2+8x_1x_2+8x_2^2+2x_1x_3+4x_2x_3+2x_3^2=0 \\  \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ 2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_1x_3+2x_2x_3+2x_3^2=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ 5x_1^2+x^2+6x_1x_3+2x_2x_3+3x_3^2=0

 

IX) Fissato il sistema di riferimento cartesiano nel piano RC(O,x,y), classificare la conica \mathrm{C} descritta dall'equazione in coordinate omogenee

 

\mathrm{C}: \ x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3+x_3^2=0

 

X) Classificare la conica \mathrm{C} descritta dall'equazione in coordinate omogenee

 

\mathrm{C}:\ x_1^2+x_2^2-x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3+x_3^2=0

 

XI) Stabilire la natura della conica \mathrm{C} descritta dall'equazione in coordinate omogenee:

 

\mathrm{C}:\ x_1^2-x_2^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3-4x_3^2=0

 

XII) Classificare la conica \mathrm{C} di equazione in coordinate omogenee

 

\mathrm{C}:\ x_1^2+9x_2^2-6x_1x_2+4x_1x_3-12x_2x_3+4x_3^2=0

 

XIII) Classificare le coniche degeneri descritte dalle seguenti equazioni in coordinate omogenee.

 

\\ \mathrm{C}_1:\ x_1^{2}+4x_{2}^2+12x_2x_3+9x_3^2=0 \\ \\ \mathrm{C}_2:\ x_1^2+4x_2^2+4x_1x_2-x_3^2=0 \\ \\ \mathrm{C}_3:\ 2x_1^2-x_2^2-x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3-4x_3^2=0

 

XIV) Al variare di k\in\mathbb{R} si consideri la conica \mathrm{C} di equazione omogenea:

 

\mathrm{C}:\ x_1^2+14x_1x_2+x_2^2-2kx_1x_3-2kx_2x_3+x_3^2=0

 

(a) Classificare la conica al variare del parametro k.

 

(b) Stabilire che tipo di conica è \mathrm{C} se passa per il punto proprio P(1,1,1).

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio: classificazione di coniche degeneri e non degeneri 

 

II) Esercizio di classificazione di una conica

 

III) Classificazione di una conica come iperbole

 

IV) Classificazione di una conica dall'equazione

 

V) Classificazione di una conica in coordinate non omogenee

 

VI) Esercizio: classificare tre coniche degeneri dalle equazioni

 

VII) Classificazione di una conica al variare di un parametro

 

VIII) Classificare tre coniche in coordinate omogenee tra degeneri e non degeneri

 

IX) Classificare una conica con equazione in coordinate omogenee

 

X) Esercizio di classificazione di una conica in coordinate omogenee

 

XI) Studiare una conica dall'equazione in coordinate omogenee

 

XII) Esercizio sulla classificazione di una conica con equazione omogenea

 

XIII) Classificare tre coniche degeneri fornite in coordinate omogenee

 

XIV) Classificare una conica con parametro

 

 

Lezione correlata

 
 

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