Esercizi sulle coniche

Questa scheda di esercizi risolti sulle coniche si riferisce nello specifico alle nozioni di equazione di una conica e di matrici associate a una conica. Le tracce sono interamente svolte e spiegate nel dettaglio, con tutti i calcoli e i commenti del caso.

 

Le coniche vengono introdotte in forma "semplificata" sin dalle scuole superiori; successivamente vengono affrontate in maniera più approfondita in ambito universitario, e in particolare nei corsi di Algebra Lineare e Geometria.

 

Dopo aver digerito le nozioni di equazione e di matrice associata a una conica potete passare alle successive schede:

 

- esercizi sulla classificazione delle coniche

 

- esercizi su polarità di una conica, polo e retta polare

 

- esercizi sullo studio delle coniche

 

- esercizi sulla riduzione alla forma canonica

 

- esercizi sui fasci di coniche

 

Esercizi risolti sulle coniche

 

I) Fissato il sistema di riferimento ortogonale monometrico RC(O,x,y) nel piano, esprimere ciascuna delle seguenti equazioni di coniche in coordinate omogenee

 

\\ (a)\ \ \ \mathrm{C}_1:\ x^2+y^2+2x y-x+1=0\\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ y^2+2xy+1=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ 3x^2+y^2-3xy-x-y+1=0

 

II) Esprimere le equazioni di ciascuna delle seguenti coniche in coordinate non omogenee

 

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ x_1^2+x_2^2+3x_1x_3-x_3^2=0\\ \\ (b)\ \ \ \mathrm{C}_2:\ x_1^2-x_2^2+3x_1x_2+x_1x_3-3x_3^2=0\\ \\ (c)\ \ \ \mathrm{C}_3:\ x_1^2+x_1x_3+x_2x_3+x_3^2=0

 

III) Scrivere le matrici associate alle coniche descritte dalle seguenti equazioni non omogenee

 

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ y^2+2xy-3x+1=0\\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ x^2+y^2-3xy+2y-3=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ 3x^2+y^2-4xy-2x+y-2=0

 

IV) Scrivere le matrici associate a ciascuna delle seguenti coniche, descritte mediante equazioni in coordinate omogenee:

 

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+4x_1x_3-x_3^2=0\\ \\ (b)\ \ \ \mathrm{C}_2:\ 2x_1^2-x_2^2+x_1x_2-x_1x_3+x_2x_3-2x_3^2=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ x_1^2-2x_1x_2-3x_2x_3=0

 

V) Fissato il sistema di riferimento ortogonale standard RC(O,x,y) nel piano, scrivere le equazioni delle coniche con matrici dei coefficienti

 

\\ (a)\ \ \ A_1=\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&2\\ 1&2&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ (b) \ \ \ A_2=\begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}\\ \\ \\ (c) \ \ \ A_3=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&1\\ -\frac{1}{2}&1&0\\ 1&0&-3\end{pmatrix}

 

esprimendole in coordinate non omogenee.

 

VI) Fissato il sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y) nel piano, determinare le equazioni delle coniche individuate dalle seguenti matrici dei coefficienti, esprimendole in coordinate omogenee

 

\\ (a) \ \ \ A_1=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&2&-1\\ 0&-1&2\end{pmatrix} \\ \\ \\ (b)\ \ \ A_2=\begin{pmatrix}0&1&\frac{1}{2}\\ 1&-1&0\\ \frac{1}{2}&0&2\end{pmatrix}\\ \\ \\ (c) \ \ \ A_3=\begin{pmatrix}0&1&3\\ 1&0&-1\\ 3&-1&1\end{pmatrix}

 

VII) Determinare il valore del parametro reale k affinché la conica \mathrm{C} di equazione

 

\mathrm{C}:\ x^2+y^2+k x y-(2k-1)x+y=0

 

passi per il punto A(1,1). Se la conica passa per il punto B(2,-1), qual è il valore assunto da k?

 

VIII) Determinare gli eventuali valori del parametro k affinché la seguente matrice sia effettivamente la matrice dei coefficienti di una conica

 

A=\begin{pmatrix}1&k^2-1&0\\ -2k-2&2&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}

 

Per tali valori scrivere l'equazione della conica in coordinate non omogenee.

 

IX) Determinare i valori che devono assumere i parametri reali a,b,c affinché la conica \mathrm{C} di equazione

 

\mathrm{C}:\ ax^2+by^2+cxy+5x-5=0

 

passi per i punti A,B,C, di coordinate

 

A(1,1) \ \ \ ,\ \ \ B(1,2)\ \ \ , \ \ \ C(-2,1)

 

Per tali valori dei parametri scrivere le matrici associate alla conica.

 

X) Trovare gli eventuali valori dei parametri reali a,b in modo che la conica \mathrm{C}, di equazione in coordinate omogenee

 

\mathrm{C}:\ ax_1^2+bx_2^2-(1+a)x_1x_3+x_2x_3-x_3^2=0

 

passi per il punto A(1,1,1) e per il punto all'infinito della retta r di equazioni non omogenee

 

r:\ x-y+1=0

 

Per tali valori dei parametri scrivere le matrici associate alla conica.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio: coniche in coordinate non omogenee

 

II) Esercizio: scrivere le equazioni di 3 coniche in coordinate non omogenee

 

III) Matrice associata a una conica in coordinate non omogenee

 

IV) Matrice associata a una conica in coordinate omogenee

 

V) Equazioni di coniche non omogenee dalle matrici dei coefficienti

 

VI) Equazioni di coniche omogenee dalle matrici dei coefficienti

 

VII) Conica con parametro passante per un punto

 

VIII) Matrice dei coefficienti di una conica con parametro

 

IX) Conica con parametro passante per tre punti

 

X) Esercizio su conica con parametro, retta non omogenea e punto all'infinito

 

 

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