Esercizi sulle coniche
Questa scheda di esercizi risolti sulle coniche si riferisce nello specifico alle nozioni di equazione di una conica e di matrici associate a una conica. Le tracce sono interamente svolte e spiegate nel dettaglio, con tutti i calcoli e i commenti del caso.
Le coniche vengono introdotte in forma "semplificata" sin dalle scuole superiori; successivamente vengono affrontate in maniera più approfondita in ambito universitario, e in particolare nei corsi di Algebra Lineare e Geometria.
Dopo aver digerito le nozioni di equazione e di matrice associata a una conica potete passare alle successive schede:
- esercizi sulla classificazione delle coniche
- esercizi su polarità di una conica, polo e retta polare
- esercizi sullo studio delle coniche
- esercizi sulla riduzione alla forma canonica
- esercizi sui fasci di coniche
Esercizi risolti sulle coniche
I) Fissato il sistema di riferimento ortogonale monometrico 
nel piano, esprimere ciascuna delle seguenti equazioni di coniche in coordinate omogenee
II) Esprimere le equazioni di ciascuna delle seguenti coniche in coordinate non omogenee
III) Scrivere le matrici associate alle coniche descritte dalle seguenti equazioni non omogenee
IV) Scrivere le matrici associate a ciascuna delle seguenti coniche, descritte mediante equazioni in coordinate omogenee:
V) Fissato il sistema di riferimento ortogonale standard nel piano, scrivere le equazioni delle coniche con matrici dei coefficienti
![(a) A_1 = [1 0 1 ; 0 1 2 ; 1 2 0] ; (b) A_2 = [0 1 1 ; 1 0 1 ; 1 1 2] ; (c) A_3 = [1 -(1)/(2) 1 ;-(1)/(2) 1 0 ; 1 0 -3]](/images/joomlatex/d/8/d8967d34908555de088e20078d7eee20.gif)
esprimendole in coordinate non omogenee.
VI) Fissato il sistema di riferimento cartesiano nel piano, determinare le equazioni delle coniche individuate dalle seguenti matrici dei coefficienti, esprimendole in coordinate omogenee
![(a) A_1 = [1 1 0 ; 1 2 -1 ; 0 -1 2] ; (b) A_2 = [0 1 (1)/(2) ; 1 -1 0 ; (1)/(2) 0 2] ; (c) A_3 = [0 1 3 ; 1 0 -1 ; 3 -1 1]](/images/joomlatex/d/8/d87e95b964e628f3d273a0c8893877f1.gif)
VII) Determinare il valore del parametro reale 
affinché la conica 
di equazione
passi per il punto 
. Se la conica passa per il punto 
, qual è il valore assunto da ?
VIII) Determinare gli eventuali valori del parametro affinché la seguente matrice sia effettivamente la matrice dei coefficienti di una conica
![A = [1 k^2-1 0 ;-2k-2 2 1 ; 0 1 0]](/images/joomlatex/a/5/a5158dd10c9cc327a1a29656de7b48de.gif)
Per tali valori scrivere l'equazione della conica in coordinate non omogenee.
IX) Determinare i valori che devono assumere i parametri reali 
affinché la conica di equazione
passi per i punti 
, di coordinate
Per tali valori dei parametri scrivere le matrici associate alla conica.
X) Trovare gli eventuali valori dei parametri reali 
in modo che la conica , di equazione in coordinate omogenee
passi per il punto 
e per il punto all'infinito della retta 
di equazioni non omogenee
Per tali valori dei parametri scrivere le matrici associate alla conica.
Svolgimenti e soluzioni
I) Esercizio: coniche in coordinate non omogenee
II) Esercizio: scrivere le equazioni di 3 coniche in coordinate non omogenee
III) Matrice associata a una conica in coordinate non omogenee
IV) Matrice associata a una conica in coordinate omogenee
V) Equazioni di coniche non omogenee dalle matrici dei coefficienti
VI) Equazioni di coniche omogenee dalle matrici dei coefficienti
VII) Conica con parametro passante per un punto
VIII) Matrice dei coefficienti di una conica con parametro
IX) Conica con parametro passante per tre punti
X) Esercizio su conica con parametro, retta non omogenea e punto all'infinito
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