Esercizi su punti, rette, piani e spazio complessificati

Benvenuti nella scheda di esercizi sulla complessificazione del piano e dello spazio reali. Le tracce riguardano punti, rette, piani e spazio complessificati, e sono tutte risolte e spiegate passaggio per passaggio.

 

Nota: gli esercizi di questa scheda si concentrano prevalentemente sul piano complessificato ampliato (propedeutico allo studio delle coniche); allo spazio complessificato ampliato dedichiamo in particolare gli ultimi due esercizi.

 

Per la teoria potete leggere la lezione correlata, dedicata a punti, rette, piani e spazio complessificati, nonché la lezione propedeutica relativa alle coordinate omogenee.

 

Esercizi risolti su punti, rette, piani e spazio complessificati

 

I) Dati i punti complessi A,B dello spazio complessificato, determinare le condizioni cui devono sottostare le loro coordinate affinché il punto medio M sia un punto reale.

 

II) Siano \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 i vettori del piano complessificato di componenti:

 

\\ \mathbf{v}_{1}=\left(\frac{1}{2}-\frac{i}{2}, \ \frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right) \\ \\ \\ \mathbf{v}_2=\left(\frac{5}{4}-\frac{3i}{4},\ \frac{3}{4}+\frac{5i}{4}\right)\\ \\ \\ \mathbf{v}_3=\left(-3i,2\right)

 

Verificare che è possibile costruire una e una sola coppia di vettori paralleli tra quelli dati.

 

III) Dopo aver dato la definizione di retta reale e la definizione di retta complessa, stabilire quali delle seguenti equazioni individuano rette reali e rette complesse.

 

\begin{array}{ll}(a)&r_1:\ 2x+3y-i=0\\ \\ (b)&r_2:\ 2ix+iy+i=0\\ \\ (c)&r_3:\ 2x+iy=0 \\ \\ (d)& r_4:\ (1+i)x+\dfrac{y}{1-i}+\dfrac{1}{2-2i}=0\end{array}

 

IV) Dati i punti del piano complessificato

 

A(1,i)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(1-i,0)

 

(a) Determinare l'equazione cartesiana e quelle parametriche della retta r passanti per i punti A\ \mbox{e}\ B;

 

(b) Scrivere l'equazione cartesiana della retta \overline{r} coniugata di r;

 

V) Si consideri il punto A(1+i,2+i) del piano complessificato. Determinare un'equazione cartesiana e parametrica dell'unica retta reale r passante per A.

 

VI) Esprimere le equazioni delle seguenti rette del piano complessificato in coordinate omogenee

 

\\ (a)\ \ \  r_1:\ 2ix+3y-3i=0 \\ \\ (b)\ \ \ r_2:\ (2+i)x-3y+3=0 \\ \\ (c)\ \ \ r_3:\ (1+i)x+i y+2+i=0

 

e calcolare per ciascuna il punto all'infinito P_{\infty}.

 

VII) Date le rette del piano complessificato ampliato

 

\\ (a) \ \ \ r_1:\ ix_1+(i-1)x_2+2x_3=0 \\ \\ (b)\ \ \ r_2:\ (2i-1)x_1+(i-3)x_2+2i x_3=0\\ \\ (c) \ \ \ r_3:\ x_1+2i x_2+(1-i)x_3=0

 

Dopo aver calcolato i punti all'infinito di ciascuna retta, scrivere le equazioni delle rette in coordinate non omogenee.

 

VIII) Dato il punto P(1+i,2-i) del piano complessificato.

 

(a) Scrivere l'equazione cartesiana della retta reale r passante per il punto P.

 

(b) Scrivere le equazioni delle rette isotrope passanti per il punto P.

 

IX) Date le rette del piano complessificato di equazioni cartesiane

 

\\ r:\ ix+2y-3=0 \\ \\ s:\ -x+2iy-4=0

 

dopo aver verificato che le rette sono parallele, calcolare il loro punto di intersezione nel piano ampliato.

 

X) Siano dati i punti A,B,C dello spazio complessificato, di coordinate

 

A(1+i, 1, 0)\ \ \ , \ \ \ B(1,i, 1)\ \ \ , \ \ \ C(0,i,1)

 

(a) Verificare che A,B,C non sono allineati;

 

(b) determinare l'equazione del piano \pi passante per i tre punti;

 

(c) Esprimere in coordinate omogenee l'equazione di \pi e ricavare le equazioni della retta impropria.

 

XI) Dati i piani \alpha,\beta dello spazio complessificato \mathbb{P}^3(\mathbb{C}) di equazioni

 

\\ \alpha:\ ix+(1+i)y-iz=0 \\ \\ \beta:\ -2x+(2i-2)y+2z-1=0

 

Stabilire se \alpha,\beta sono piani paralleli e determinare la retta, propria o impropria, in cui si intersecano.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Punto medio reale di 2 punti complessi nello spazio complessificato 

 

II) Coppia di vettori paralleli nel piano complessificato

 

III) Rette reali e rette complesse nel piano complessificato

 

IV) Retta per due punti nel piano complessificato e retta coniugata

 

V) Retta reale passante per un punto del piano complessificato

 

VI) Punto all'infinito di rette nel piano complessificato

 

VII) Rette del piano complessificato ampliato in coordinate non omogenee

 

VIII) Rette isotrope nel piano complessificato

 

IX) Intersezione nel piano ampliato di due rette del piano complessificato

 

X) Equazione del piano per tre punti nello spazio complessificato

 

XI) Esercizio su piani paralleli e rette nello spazio complessificato

 

 

Lezione correlata

 
 

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