Esercizi: coordinate omogenee nel piano e nello spazio

State consultando la scheda di esercizi sulle coordinate omogenee. Tutte le tracce sono corredate da svolgimenti e soluzioni complete, con tutti i calcoli e i commenti necessari per giungere alla soluzione.

 

Gli esercizi proposti in questa pagina riguardano l'utilizzo delle coordinate omogenee nel piano e nello spazio. Più precisamente presuppongono di saper passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate omogenee, e viceversa, nella rappresentazione di punti, rette e piani.

 

Per un ripasso della teoria vi rimandiamo alla lezione correlata: coordinate omogenee.

 

Esercizi svolti sulle coordinate omogenee nel piano e nello spazio

 

I) Si associ a ciascuno dei seguenti punti del piano due o più rappresentazioni in coordinate omogenee

 

A(1,2) \ \ \ ,\ \ \ B(3,2) \ \ \ , \ \ \ C\left(\frac{1}{2},-1\right)

 

II) Stabilire se le seguenti coppie di punti espressi in coordinate omogenee sono tra loro equivalenti oppure no.

 

\begin{array}{lll}(a)& P_1(1,0,1)&P_{2}\left(-\dfrac{1}{2},0,-\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ (b)&P_1(1,-1,-1)&P_{2}(2,-2,-2)\\ \\ (c)& P_1(1,-3,2)&P_{2}(2,-6,4)\\ \\ (d)&P_1(2,-2,3)&P_2(-2,-3,-2)\end{array}

 

III) Stabilire se i seguenti punti del piano espressi in coordinate omogenee sono propri o impropri. Nel caso in cui sono punti propri determinare le loro coordinate non omogenee.

 

\begin{array}{lll}A(1,2,1);& B(2,1,2);&C(1,0,3);\\ \\ D\left(-1,-\dfrac{3}{2},-2\right);&E\left(\dfrac{1}{3},-1,-\dfrac{3}{2}\right);&F(1,0,0)\\ \\ G(1,2,3);&H(1,3,2);&I(2,-1,0).\end{array}

 

IV) Stabilire quali dei seguenti punti dello spazio espressi in coordinate omogenee sono propri e quali sono impropri. Per ciascuno dei punti propri, associare le rispettive coordinate non omogenee.

 

\begin{array}{lll}A(1,2,3,2)&B(1,3,-1,2)&C(1,0,0,1)\\ \\ D(-1,0,0,0)&F\left(-\dfrac{1}{2},0,-\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3}\right)&G\left(1,1,0,0\right)\end{array}

 

V) Indicare per ciascuno dei seguenti punti espressi in coordinate non omogenee tutte le possibili triple che individuano le coordinate omogenee di ciascuno dei seguenti punti.

 

\begin{array}{lll}A(1,4,1)&B(1,2,0)&C\left(1,1,\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ D(4,2,0)&F(3,1,2)&G(7,1,9)\end{array}

 

VI) Dimostrare che la retta

 

r:\ a x+by+c=0

 

è descritta dalla seguente relazione in coordinate omogenee

 

r: \ ax_1+bx_2+cx_3=0

 

e che il suo punto improprio P_{\infty} è:

 

P_{\infty}(b,-a,0)\ \ \ \mbox{con}\ (a,b)\ne (0,0)

 

VII) Si consideri la retta del piano r descritta dall'equazione

 

r: \ 2x+y-3=0

 

(a) Scrivere l'equazione che descrive r in coordinate omogenee.

 

(b) Stabilire se i punti proiettivi P(1,1,1), Q(1,0,1),R(4,-2,2) appartengono o meno alla retta r.

 

(c) Calcolare il punto all'infinito P_{\infty} della retta.

 

VIII) Sia r\subset\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) la retta di equazioni omogenee

 

r:\ 2x_1+3x_2+x_3=0

 

(a) Determinare il punto all'infinito di r.

 

(b) Scrivere una rappresentazione cartesiana della retta r.

 

IX) Sia \pi il piano dello spazio proiettivo \mathbb{P}^{3}(\mathbb{R}) definito dalle equazioni omogenee

 

\pi:\ 2x_1-3x_2+x_3-x_4=0

 

(a) Stabilire se i punti dello spazio proiettivo

 

P\left(-4,-2,5,3\right)\ \ \ , \ \ \ Q(-1,2,9,1)

 

appartengono a \pi

 

(b) Esplicitare l'equazione cartesiana del piano.

 

X) Si considerino i piani \alpha, \beta dello spazio \mathbb{R}^3 di equazioni cartesiane

 

\\ \alpha:\ 2x+y-3z+1=0 \\ \\ \beta:\ x-z+1=0

 

(a) Scrivere le equazioni in coordinate omogenee dei due piani.

 

(b) Risolvere il sistema lineare dato dalle equazioni omogenee dei piani.

 

(c) Interpretare geometricamente l'insieme dei punti propri del sistema ed esprimere in coordinate cartesiane l'equazione o le equazioni che definiscono il luogo geometrico.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Coordinate omogenee di tre punti del piano 

 

II) Equivalenza di coordinate omogenee nel piano

 

III) Punti del piano in coordinate omogenee propri o impropri

 

IV) Punti dello spazio in coordinate omogenee propri o impropri

 

V) Coordinate omogenee di punti nello spazio

 

VI) Equazione cartesiana di una retta nel piano in coordinate omogenee

 

VII) Retta nel piano in coordinate omogenee e punti proiettivi

 

VIII) Punti all'infinito ed equazione cartesiana di una retta in coordinate omogenee

 

IX) Piano dello spazio proiettivo in coordinate omogenee

 

X) Esercizio: equazioni omogenee di due piani e punti propri

 

 

Lezione correlata

 
 

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