Esercizi sul piano tangente a una sfera

Questa scheda propone una raccolta di esercizi sul piano tangente a una sfera nello spazio, tutti risolti e commentati. Gli svolgimenti proposti sono spiegati nel dettaglio e senza omettere alcun passaggio, né alcun calcolo.

Nel caso siate finiti direttamente su questa pagina, prima di cominciare vi suggeriamo di dare un'occhiata alla scheda di esercizi sull'equazione della sfera, che naturalmente è propedeutica per le tracce che seguono. Riguardo a quest'ultime la consegna è bene o male sempre la stessa: si tratta di ricavare l'equazione del piano tangente a un'assegnata sfera nello spazio, o al più di partire dal piano tangente e di risalire a determinate caratteristiche della sfera.

Per la teoria e i metodi di risoluzione degli esercizi vi rimandiamo alla scheda correlata: piano tangente a una sfera.

Esercizi risolti sul piano tangente a una sfera

I) Sia $\mathrm{S}$ la sfera di equazione

$\mathrm{S}:\ x^2+y^2+z^2+2x-2y=0$

Determinare l'equazione cartesiana del piano tangente alla sfera, sapendo che il punto di tangenza è .

II) Trovare l'equazione del piano tangente alla sfera $\mathrm{S}$ nel punto , sapendo che il centro della sfera è .

III) Determinare i valori di $k\in\mathbb{R}$ affinché la sfera $\mathrm{S}$ di centro e raggio sia tangente al piano $\pi$ di equazione cartesiana

$\pi:\ 2x-2y-z-1=0$

IV) Siano $\mathrm{S}$ la sfera di equazione

$\mathrm{S}:\ x^2+y^2+z^2-2x-6y-2z-3=0$

e $\pi$ un suo piano tangente descritto dall'equazione:

$\pi:\ x-2y+3z-12=0$

Determinare il punto di tangenza della sfera e il piano.

V) Scrivere l'equazione della superficie sferica di centro e tangente al piano $\pi$ definito dall'equazione:

$\pi:\ x+y-1=0$

VI) Trovare le equazioni delle sfere di raggio $r=2\sqrt{11}$ e tangenti al piano di equazione cartesiana

$\pi:\ x-3y+z+9=0$

VII) Trovare l'equazione della sfera $\mathrm{S}$ , sapendo che il piano tangente nel punto è descritto dall'equazione

$\pi:\ 2x+y+2z-9=0$

e che il centro della sfera giace sulla retta di equazioni parametriche

$s: \ \begin{cases}x=3+t\\ y=2t \\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con}\ t\in\mathbb{R}$

VIII) Trovare i centri e i raggi delle sfere tangenti ai piani

$\\ \alpha:\ x-y+z=0 \\ \\ \beta: \ x+y-z+1=0$

ed aventi centro sulla retta

$r:\ \begin{cases}x+y-3z=0 \\ x-z+1=0\end{cases}$

IX) Siano $\pi$ il piano passante per i punti

$E(1,0,0)\ \ , \ \ F(7,0,3)\ \ ,\ \ G(-1,3,2)$

ed $\mathrm{S}$ la sfera di centro e raggio .

(a) Scrivere l'equazione cartesiana del piano $\pi.$

(b) Scrivere l'equazione della sfera $\mathrm{S}.$

X) Determinare i piani passanti per i punti

$A(1,0,1)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(7,3,1)$

e tangenti la sfera $\mathrm{S}$ di equazione

$\mathrm{S}:\ x^2+y^2+z^2=1$

Svolgimenti e soluzioni

I) Piano tangente a una sfera in un punto con equazione implicita

II) Piano tangente a una sfera in un punto noto il centro

III) Sfera con centro parametrico e piano tangente

IV) Punto di tangenza tra sfera e piano

V) Equazione della superficie sferica tangente a un piano

VI) Sfere tangenti a un piano in un punto noto il raggio

VII) Sfera noto il piano tangente e la retta su cui giace il centro

VIII) Sfere tangenti due piani con centro su una retta

IX) Piani paralleli a un piano e tangenti a una sfera

X) Piani passanti per due punti e tangenti una sfera

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