Esercizi sull'equazione della sfera

Pronti per affrontare gli esercizi sull'equazione della sfera? Tutte le tracce di questa scheda sono risolte nel dettaglio e sono corredate da svolgimenti completi, con tutti i calcoli necessari per giungere alla soluzione.

Gli esercizi ricoprono tipologie di richieste piuttosto variegate. Se da un lato l'obiettivo è sempre quello di lavorare con l'equazione della sfera, o di determinarla, dall'altro cambiano le condizioni e il contesto di partenza. In questo modo potrete garantirvi una preparazione completa in vista dell'esame. ;)

A proposito: la scheda successiva riguarda gli esercizi sul piano tangente a una sfera, mentre nella lezione correlata potete ripassare le varie formule e le tecniche di risoluzione degli esercizi.

Esercizi risolti sull'equazione della sfera

I) Stabilire se ciascuna delle seguenti equazioni individua una sfera oppure no. In caso affermativo, determinare centro e raggio.

(a) S_1: x^2+y^2+z^2−1 = 0 ; (b) S_(2): 2x^2+2y^2+2z^2+x−y = 0 ; (c) S_3: x^2+y^2+z^2−2x−2y−2z+4 = 0 ; (d) S_(4): x^2+2y^2+z^2+z = 0 ; (e) S_(5): −3x^2−3y^2−3z^2+18x+12y+6z−42 = 0

II) Determinare il centro e il raggio di ciascuna delle sfere definite dalle seguenti equazioni:

(a) S_(1): (x−3)^2+y^2+(z−1)^2 = 9 ; (b) S_(2): x^2+y^2+z^2 = 2 ; (c) S_(3): (x+1)^2+(y−1)^2+(z−1)^2 = 8 ; (d) S_(4): (x+(1)/(4))^2+(y−(1)/(2))^2+(z−(1)/(3))^2 = (1)/(16)

III) Sia R^3 lo spazio munito del sistema di riferimento cartesiano Oxyz. Scrivere l'equazione della sfera di centro C(0,1,2) e passante per l'origine degli assi.

IV) Usando il metodo del completamento dei quadrati, esprimere ciascuna delle seguenti equazioni nella forma

(x−x_(C))^2+(y−y_(C))^2+(z−z_(C))^2 = r^2

e nel caso in cui descrivano una sfera reale, ricavare centro e la misura del raggio.

(a) S_1: x^2+y^2+z^2+2x+2y−1 = 0 ; (b) S_(2): x^2+y^2+z^2+2x−2z−1 = 0 ; (c) S_(3): x^2+y^2+z^2+3x−3y−3z+7 = 0 ; (d) S_(4): x^2+y^2+z^2−4y+2z+5 = 0

V) Scrivere l'equazione della sfera S passante per i seguenti punti

O(0,0,0), E(0,1,1), F(0,0,2), G(1,0,1)

Determinare inoltre il centro e la misura del raggio di S.

VI) Scrivere l'equazione della sfera S avente per diametro il segmento di estremi

A(1,3,2) , B(−1,−1,−2)

VII) Stabilire se la seguente equazione definisce una sfera reale, degenere o immaginaria al variare del parametro reale k

S: x^2+y^2+z^2+kx+(1−k)y+(1−2k)z+(k)/(2) = 0

Ricavare inoltre le coordinate del centro e la misura del raggio per tutti i valori di k per cui S è una sfera reale.

VIII) Scrivere le equazioni delle sfere di raggio r = 1, passanti per il punto A(0,0,2) e i cui centri giacciono sulla retta di equazioni parametriche

r: x = 1+t ; y = 1+t ; z = 2+t con t∈R

IX) Fissato nello spazio euclideo tridimensionale usuale un riferimento ortogonale, scrivere l'equazione della sfera S di centro C(5,8,4) e tangente alla retta s descritta dalle equazioni parametriche

s: x = 7+t ; y = 6−t ; z = 5+2t con t∈R

Calcolare inoltre le coordinate del punto di tangenza P.

X) Determinare le equazioni delle sfere di raggio 5 aventi centro C sulla retta di equazioni cartesiane

s: x = 2z ; y = z−1

che tagliano il piano π: x−y+2z−4 = 0 generando delle circonferenze di raggio 4.

Svolgimenti e soluzioni

I) Esercizio: centro e raggio dall'equazione della sfera 

II) Calcolo di centro e raggio dall'equazione della sfera

III) Equazione della sfera con centro e punto di passaggio

IV) Equazione della sfera e completamento dei quadrati

V) Equazione della sfera passante per quattro punti

VI) Equazione della sfera noti i vertici di un diametro

VII) Sfera con parametro reale, degenere o immaginaria

VIII) Sfere con centro su una retta nello spazio

IX) Retta tangente a una sfera

X) Sfera e piano: circonferenze nello spazio

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Lezione correlata

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