Esercizi sull'equazione della sfera

Pronti per affrontare gli esercizi sull'equazione della sfera? Tutte le tracce di questa scheda sono risolte nel dettaglio e sono corredate da svolgimenti completi, con tutti i calcoli necessari per giungere alla soluzione.

 

Gli esercizi ricoprono tipologie di richieste piuttosto variegate. Se da un lato l'obiettivo è sempre quello di lavorare con l'equazione della sfera, o di determinarla, dall'altro cambiano le condizioni e il contesto di partenza. In questo modo potrete garantirvi una preparazione completa in vista dell'esame. ;)

 

A proposito: la scheda successiva riguarda gli esercizi sul piano tangente a una sfera, mentre nella lezione correlata potete ripassare le varie formule e le tecniche di risoluzione degli esercizi.

 

Esercizi risolti sull'equazione della sfera

 

I) Stabilire se ciascuna delle seguenti equazioni individua una sfera oppure no. In caso affermativo, determinare centro e raggio.

 

\\ (a)\ \ \ \mathrm{S}_1:\ x^2+y^2+z^2-1=0\\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{S}_{2}:\ 2x^2+2y^2+2z^2+x-y=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{S}_3:\ x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+4=0\\ \\ (d) \ \ \ \mathrm{S}_{4}:\ x^2+2y^2+z^2+z=0\\ \\ (e)\ \ \  \mathrm{S}_{5}:\ -3x^2-3y^2-3z^2+18x+12y+6z-42=0

 

II) Determinare il centro e il raggio di ciascuna delle sfere definite dalle seguenti equazioni:

 

\\ (a)\ \ \ \mathrm{S}_{1}:\ (x-3)^2+y^2+(z-1)^2=9\\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{S}_{2}:\ x^2+y^2+z^2=2\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{S}_{3}:\ (x+1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=8\\ \\ (d)\ \ \ \mathrm{S}_{4}:\ \left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\left(z-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{16}

 

III) Sia \mathbb{R}^3 lo spazio munito del sistema di riferimento cartesiano Oxyz. Scrivere l'equazione della sfera di centro C(0,1,2) e passante per l'origine degli assi.

 

IV) Usando il metodo del completamento dei quadrati, esprimere ciascuna delle seguenti equazioni nella forma

 

(x-x_{C})^2+(y-y_{C})^2+(z-z_{C})^2=r^2

 

e nel caso in cui descrivano una sfera reale, ricavare centro e la misura del raggio.

 

\\ (a)\ \ \ \mathrm{S}_1: \ x^2+y^2+z^2+2x+2y-1=0\\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{S}_{2}:\ x^2+y^2+z^2+2x-2z-1=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{S}_{3}:\ x^2+y^2+z^2+3x-3y-3z+7=0 \\ \\ (d) \ \ \ \mathrm{S}_{4}:\ x^2+y^2+z^2-4y+2z+5=0

 

V) Scrivere l'equazione della sfera \mathrm{S} passante per i seguenti punti

 

O(0,0,0),\ E(0,1,1),\ F(0,0,2), \ G(1,0,1)

 

Determinare inoltre il centro e la misura del raggio di \mathrm{S}.

 

VI) Scrivere l'equazione della sfera \mathrm{S} avente per diametro il segmento di estremi

 

A(1,3,2)\ \ \ ,\ \ \ B(-1,-1,-2)

 

VII) Stabilire se la seguente equazione definisce una sfera reale, degenere o immaginaria al variare del parametro reale k

 

\mathrm{S}:\ x^2+y^2+z^2+kx+(1-k)y+(1-2k)z+\frac{k}{2}=0

 

Ricavare inoltre le coordinate del centro e la misura del raggio per tutti i valori di k per cui \mathrm{S} è una sfera reale.

 

VIII) Scrivere le equazioni delle sfere di raggio r=1, passanti per il punto A(0,0,2) e i cui centri giacciono sulla retta di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1+t\\ z=2+t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

IX) Fissato nello spazio euclideo tridimensionale usuale un riferimento ortogonale, scrivere l'equazione della sfera \mathrm{S} di centro C(5,8,4) e tangente alla retta s descritta dalle equazioni parametriche

 

s:\ \begin{cases}x=7+t\\ y=6-t\\ z=5+2t\end{cases}\ \ \ \mbox{con}\ t\in\mathbb{R}

 

Calcolare inoltre le coordinate del punto di tangenza P.

 

X) Determinare le equazioni delle sfere di raggio 5 aventi centro C sulla retta di equazioni cartesiane

 

s:\ \begin{cases}x=2z\\ y=z-1\end{cases}

 

che tagliano il piano \pi:\ x-y+2z-4=0 generando delle circonferenze di raggio 4.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio: centro e raggio dall'equazione della sfera 

 

II) Calcolo di centro e raggio dall'equazione della sfera

 

III) Equazione della sfera con centro e punto di passaggio

 

IV) Equazione della sfera e completamento dei quadrati

 

V) Equazione della sfera passante per quattro punti

 

VI) Equazione della sfera noti i vertici di un diametro

 

VII) Sfera con parametro reale, degenere o immaginaria

 

VIII) Sfere con centro su una retta nello spazio

 

IX) Retta tangente a una sfera

 

X) Sfera e piano: circonferenze nello spazio

 

 

Lezione correlata

 
 

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