Esercizi: retta ortogonale e incidente due rette nello spazio

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Benvenuti nella scheda di esercizi sulla retta ortogonale e incidente due rette nello spazio, tutti risolti e spiegati nel dettaglio, calcolo dopo calcolo.

 

Gli esercizi di questa scheda hanno indicativamente la medesima traccia: è richiesto di determinare la retta perpendicolare e incidente due rette nello spazio. Per procedere alla risoluzione è importante saper studiare la posizione di due rette nello spazio, di cui abbiamo trattato nella lezione dell'omonimo link.

 

Volete ripassare la teoria e le tecniche di svolgimento degli esercizi? Nessun problema: vi basta leggere la lezione correlata sulla retta ortogonale e incidente due rette nello spazio.

 

Esercizi risolti: retta ortogonale e incidente due rette nello spazio

 

I) Date le rette sghembe r,s dello spazio R^3, munito del riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, descritte dalle equazioni parametriche

 

r: x = 1-2t ; y = 5t ; z = t con t∈R ; s: x = -1-2u ; y = 2+2u ; z = u con u∈R

 

Determinare la retta q che incide r,s e che è ortogonale a entrambe.

 

II) Determinare la retta r ortogonale e incidente le rette s e q di equazioni cartesiane

 

s: x-1 = 0 ; y-z+2 = 0 ; q: 2x+y-1 = 0 ; x+z-1 = 0

 

 

III) Nello spazio R^3, munito dell'usuale sistema di riferimento ortogonale Oxyz, sono date le rette sghembe r,s definite dalle seguenti equazioni parametriche

 

r: x = -t ; y = t ; z = t con t∈R ; s: 2x+y-2 = 0 ; x-z-2 = 0

 

Trovare la retta q che incide r e s e che sia ortogonale a entrambe.

 

IV) Date le rette r e s di equazioni parametriche

 

r: x = 1+t ; y = 1 ; z = t con t∈R ; s: x = -2+3u ; y = -2+3u ; z = -1+u con u∈R

 

dopo aver dimostrato che r,s sono rette incidenti, determinare la retta q che le interseca perpendicolarmente.

 

V) Nello spazio R^3, munito dell'usuale sistema di riferimento cartesiano Oxyz, sono date le rette incidenti

 

r: x-z+1 = 0 ; y-4z = 0 ; s: z = 0 ; x-2y+1 = 0

 

Determinare la retta q ortogonale e incidente a entrambe.

 

VI) Dopo aver mostrato che r,s definite da

 

r: (x,y,z) = (3,0,0)+(1,-1,-1)t con t∈R ; s: x+3y-3 = 0 ; 2x+3y+2z-6 = 0

 

sono rette incidenti, trovare la retta q che interseca ortogonalmente entrambe.

 

VII) Fissato il sistema di riferimento ortogonale Oxyz nello spazio R^3, si considerino le rette parallele r,s di equazioni parametriche

 

r: x = 1+2t ; y = 1+t ; z = 1+2t con t∈R ; s: x = 3+4t ; y = 1+2t ; z = 1+4t con t∈R

 

e il punto P(3,2,3). Determinare la retta q passante per P, incidente le rette r e s e ortogonale a entrambe.

 

VIII) Siano r,s due rette dello spazio R^3 definite dalle equazioni cartesiane

 

r: x+2y-z-3 = 0 ; x-2y-z-3 = 0 ; s: 2x-2z-4 = 0 ; 2+4y = 0

 

Dopo aver dimostrato che le due rette sono parallele, scrivere l'equazione della retta q passante per il punto di r, P(3,0,0), , che le interseca e che è ortogonale a entrambe.

 

IX) Siano r,s le rette dello spazio R^3 definite dalle equazioni:

 

r: (x,y,z) = (1,1,1)+(0,1,1) t con t∈R ; s: x+y-z-2 = 0 ; 2x-y+z-4 = 0

 

(a) Dimostrare che r e s sono rette parallele;

 

(b) Trovare la retta q passante per il punto P(0,3,3) e che interseca perpendicolarmente r,s

 

X) Nello spazio tridimensionale R^3, munito del sistema di riferimento cartesiano Oxyz sono date le rette r,s di equazioni

 

r: x = 1+t ; y = 2-t ; z = -t con t∈R ; s: x+by-z+1 = 0 ; x+z = 0

 

(a) Studiare la posizione reciproca delle rette al variare del parametro reale b.

 

(b) Trovare la retta q che incide ed è perpendicolare sia a r, sia a s, per tutti i valori di b per cui r,s sono rette sghembe.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Equazione della retta perpendicolare a due rette sghembe 

 

II) Retta nello spazio incidente due rette sghembe

 

III) Trovare la retta ortogonale e incidente due rette nello spazio

 

IV) Retta ortogonale a due rette e incidente ad entrambe

 

V) Determinare la retta ortogonale e incidente due rette nello spazio

 

VI) Retta incidente e perpendicolare a due rette in forma cartesiana e parametrica

 

VII) Retta ortogonale e incidente due rette nello spazio in forma parametrica

 

VIII) Retta ortogonale e incidente due rette nello spazio in forma cartesiana

 

IX) Retta ortogonale e incidente due rette parallele nello spazio

 

X) Retta con parametro e perpendicolare a due rette nello spazio

 

 

Lezione correlata

 
 

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