Esercizi: retta ortogonale e incidente due rette nello spazio

Benvenuti nella scheda di esercizi sulla retta ortogonale e incidente due rette nello spazio, tutti risolti e spiegati nel dettaglio, calcolo dopo calcolo.

 

Gli esercizi di questa scheda hanno indicativamente la medesima traccia: è richiesto di determinare la retta perpendicolare e incidente due rette nello spazio. Per procedere alla risoluzione è importante saper studiare la posizione di due rette nello spazio, di cui abbiamo trattato nella lezione dell'omonimo link.

 

Volete ripassare la teoria e le tecniche di svolgimento degli esercizi? Nessun problema: vi basta leggere la lezione correlata sulla retta ortogonale e incidente due rette nello spazio.

 

Esercizi risolti: retta ortogonale e incidente due rette nello spazio

 

I) Date le rette sghembe r,s dello spazio \mathbb{R}^3, munito del riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, descritte dalle equazioni parametriche

 

\\ r:\ \begin{cases}x=1-2t\\ y=5t\\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=-1-2u\\ y=2+2u\\ z=u\end{cases}\ \ \ \mbox{con}\ u\in\mathbb{R}

 

Determinare la retta q che incide r,s e che è ortogonale a entrambe.

 

II) Determinare la retta r ortogonale e incidente le rette s\ \mbox{e}\ q di equazioni cartesiane

 

\\ s: \ \begin{cases}x-1=0\\ y-z+2=0\end{cases} \\ \\ \\ q:\ \begin{cases}2x+y-1=0\\ x+z-1=0\end{cases}

 

 

III) Nello spazio \mathbb{R}^3, munito dell'usuale sistema di riferimento ortogonale Oxyz, sono date le rette sghembe r,s definite dalle seguenti equazioni parametriche

 

\\ r:\ \begin{cases}x=-t\\ y=t\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}2x+y-2=0 \\ x-z-2=0\end{cases}

 

Trovare la retta q che incide r\ \mbox{e}\ s e che sia ortogonale a entrambe.

 

IV) Date le rette r\ \mbox{e}\ s di equazioni parametriche

 

\\ r: \ \begin{cases}x=1+t\\ y=1 \\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=-2+3u\\ y=-2+3u\\ z=-1+u\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ u\in\mathbb{R}

 

dopo aver dimostrato che r,s sono rette incidenti, determinare la retta q che le interseca perpendicolarmente.

 

V) Nello spazio \mathbb{R}^3, munito dell'usuale sistema di riferimento cartesiano Oxyz, sono date le rette incidenti

 

\\ r: \ \begin{cases}x-z+1=0\\ y-4z=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}z=0\\ x-2y+1=0\end{cases}

 

Determinare la retta q ortogonale e incidente a entrambe.

 

VI) Dopo aver mostrato che r,s definite da

 

\\ r: \ (x,y,z)=(3,0,0)+(1,-1,-1)t \ \ \ \mbox{con}\ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+3y-3=0\\ 2x+3y+2z-6=0\end{cases}

 

sono rette incidenti, trovare la retta q che interseca ortogonalmente entrambe.

 

VII) Fissato il sistema di riferimento ortogonale Oxyz nello spazio \mathbb{R}^3, si considerino le rette parallele r,s di equazioni parametriche

 

\\ r: \ \begin{cases}x=1+2t\\ y=1+t\\ z=1+2t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=3+4t\\ y=1+2t\\ z=1+4t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

e il punto P(3,2,3). Determinare la retta q passante per P, incidente le rette r\ \mbox{e} \ s e ortogonale a entrambe.

 

VIII) Siano r,s due rette dello spazio \mathbb{R}^3 definite dalle equazioni cartesiane

 

\\ r:\ \begin{cases}x+2y-z-3=0\\ x-2y-z-3=0\end{cases}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}2x-2z-4=0\\ 2+4y=0\end{cases}

 

Dopo aver dimostrato che le due rette sono parallele, scrivere l'equazione della retta q passante per il punto di r, P(3,0,0),\, che le interseca e che è ortogonale a entrambe.

 

IX) Siano r,s le rette dello spazio \mathbb{R}^3 definite dalle equazioni:

 

\\ r: \  (x,y,z)=(1,1,1)+(0,1,1) t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+y-z-2=0\\ 2x-y+z-4=0\end{cases}

 

(a) Dimostrare che r\ \mbox{e} \ s sono rette parallele;

 

(b) Trovare la retta q passante per il punto P(0,3,3) e che interseca perpendicolarmente r,s

 

X) Nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, munito del sistema di riferimento cartesiano Oxyz sono date le rette r,s di equazioni

 

\\ r:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=2-t\\ z=-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+by-z+1=0\\ x+z=0\end{cases}

 

(a) Studiare la posizione reciproca delle rette al variare del parametro reale b.

 

(b) Trovare la retta q che incide ed è perpendicolare sia a r, sia a s, per tutti i valori di b per cui r,s sono rette sghembe.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Equazione della retta perpendicolare a due rette sghembe 

 

II) Retta nello spazio incidente due rette sghembe

 

III) Trovare la retta ortogonale e incidente due rette nello spazio

 

IV) Retta ortogonale a due rette e incidente ad entrambe

 

V) Determinare la retta ortogonale e incidente due rette nello spazio

 

VI) Retta incidente e perpendicolare a due rette in forma cartesiana e parametrica

 

VII) Retta ortogonale e incidente due rette nello spazio in forma parametrica

 

VIII) Retta ortogonale e incidente due rette nello spazio in forma cartesiana

 

IX) Retta ortogonale e incidente due rette parallele nello spazio

 

X) Retta con parametro e perpendicolare a due rette nello spazio

 

 

Lezione correlata

 
 

Tags: scheda di esercizi svolti sulla retta ortogonale e incidente due rette nello spazio - esercizi risolti sulla retta perpendicolare e incidente due rette nello spazio.