Esercizi: piano contenente due rette

Pronti per allenarvi con gli esercizi sul piano contenente due rette nello spazio? Gli esercizi elencati in questa pagina sono tutti risolti e corredati da svolgimenti completi, con tutti i calcoli e le spiegazioni necessarie per arrivare alla soluzione.

 

La richiesta comune alle tracce di questa scheda prevede di determinare una rappresentazione del piano che contiene due rette assegnate. Gli esercizi sono ordinati per difficoltà crescente e prevedono di svolgere del lavoro preliminare a seconda delle condizioni e dei dati forniti, con particolare riferimento allo studio della posizione reciproca tra rette nello spazio.

 

PS: per la teoria e per i metodi di svolgimento degli esercizi vi rimandiamo alla lezione sul piano contenente due rette.

 

Esercizi risolti: piano contenente due rette

 

I) Fissato il riferimento cartesiano ortogonale Oxyz nello spazio \mathbb{R}^3, determinare il piano \pi contenente le rette incidenti r,s definite dalle seguenti rappresentazioni parametriche:

 

\\ r:\ \begin{cases}x=2-t \\ y=-1\\ z=3-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=2-4u\\ y=-1+4u\\ z=3-2u\end{cases} \ \ \mbox{con} \ u\in\mathbb{R}

 

II) Nello spazio \mathbb{R}^3, munito del sistema di riferimento ortogonale Oxyz sono date le rette r,s incidenti di equazioni cartesiane

 

\\ r:\ \begin{cases}2x-y-1=0\\ 2x+z-3=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+2y-3=0\\ 3x+2y-z-4=0\end{cases}

 

(a) calcolare il loro punto di intersezione P;

 

(b) scrivere l'equazione cartesiana del piano \pi che le contiene.

 

III) Nello spazio \mathbb{R}^3, munito del sistema di riferimento cartesiano Oxyz, sono date le rette incidenti r\ \mbox{e} \ s di equazioni parametriche

 

\\ r: \ \begin{cases}x=1+t\\ y=1-3t\\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=2-u\\ y=-2-u\\ z=1+2u\end{cases}\ \ \ \mbox{con}\ u\in\mathbb{R}

 

Dopo aver trovato il punto di intersezione tra r \ \mbox{e} \ s, scrivere l'equazione cartesiana del piano \pi che contiene le due rette.

 

IV) Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale dello spazio, siano date le rette r,s di equazioni:

 

\\ r:\ (x,y,z)=(1,2,3)+t(-1,2,2)\ \ \ \forall t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}2x+y-3=0\\ y-z=0\end{cases}

 

Dopo aver dimostrato che r,s sono rette parallele, scrivere una rappresentazione del piano che le contiene entrambe.

 

V) Siano date le rette r,s definite dalle equazioni cartesiane:

 

\\ r: \ \begin{cases}x+2y-3=0 \\ x-2z-4=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+z-3=0\\ x+y-z=0\end{cases}

 

Se esiste, determinare il piano \pi che le contiene entrambe.

 

VI) Sia \mathbb{R}^3 lo spazio tridimensionale munito del sistema di riferimento cartesiano standard Oxyz. Dopo aver stabilito la posizione reciproca delle rette definite dalle equazioni parametriche

 

\\ r:\ \begin{cases}x=-1-3t\\ y=1-t\\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=1+3t\\ y=1+t\\ z=1-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con}\ t\in\mathbb{R}

 

scrivere l'equazione cartesiana del piano che le contiene entrambe.

 

VII) Dopo aver studiato la posizione reciproca delle rette r,s descritte dalle equazioni cartesiane:

 

\\ r:\ \begin{cases}x-2y-z-1=0\\ x+y-z=0\end{cases}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}2x-y-2z-1=0\\ 3y+1=0\end{cases}

 

trovare, se esistono, i piani contenenti entrambe le rette.

 

VIII) Siano date le rette r,s dello spazio definite dalle equazioni

 

\\ r:\ \begin{cases}x+3y=0\\ z-1=0\end{cases}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=1+3t\\ y=-t\\ z=5\end{cases}

 

Dopo aver dimostrato che r,s sono complanari, scrivere l'equazione cartesiana del piano \pi contenente le due rette.

 

IX) Scrivere l'equazione del piano \pi contenente le rette r,s definite dalle equazioni:

 

\\ r:\ \begin{cases}2x+y-z-1=0\\ 4x-y+z-5=0\end{cases}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=2\\ y= -2+t\\ z= t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

X) Discutere al variare del parametro a, l'esistenza di piani contenenti le rette r,s di equazioni

 

\\ r:\ \begin{cases}x-y+z-a=0 \\ 2x+y-z-a+1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-z-3a=0\\ y-2z-a-1=0\end{cases}

 

In caso affermativo determinare tali piani.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Equazione del piano contenente due rette incidenti

 

II) Intersezione tra due rette nello spazio e piano che le contiene

 

III) Equazione cartesiana del piano contenente due rette in forma parametrica

 

IV) Piano che contiene due rette

 

V) Piano che contiene due rette con equazioni cartesiane

 

VI) Piano che contiene due rette parallele con equazioni parametriche

 

VII) Piano contenente due rette descritte in forma cartesiana

 

VIII) Rette nello spazio complanari e piano che le contiene

 

IX) Trovare il piano contenente due rette parallele

 

X) Piano contenente due rette al variare di un parametro

 

 

Lezione correlata

 
 

Tags: scheda di esercizi risolti sul piano contenente due rette - esercizi svolti in cui è richiesto di determinare il piano contenente due rette nello spazio.