Esercizi sulla distanza retta-piano

Eccoci alle prese con gli esercizi sulla distanza tra retta e piano nello spazio. Le tracce disponibili a partire da questa pagina sono corredate da svolgimenti completi, commentati passaggio per passaggio e con tutti i riferimenti per colmare eventuali lacune pregresse.

 

Riguardo al calcolo della distanza tra enti geometrici nello spazio, oltre agli esercizi risolti sulla distanza retta-piano ci sono svariate altre schede che ricoprono l'argomento:

 

esercizi sulla distanza tra due punti nello spazio;

 

esercizi sulla distanza punto-piano;

 

esercizi sulla distanza punto-retta nello spazio;

 

esercizi sulla distanza tra due rette nello spazio;

 

esercizi sulla distanza tra due piani;

 

- esercizi sulla distanza retta-piano (quella che state leggendo).

 

Problemi di memoria e/o con la teoria? Potete ripassare le formule, le definizioni e i metodi di risoluzione degli esercizi direttamente nella lezione sulla distanza tra retta e piano.

 

Esercizi risolti sulla distanza tra retta e piano

 

I) Sia \mathbb{R}^3 lo spazio tridimensionale munito del riferimento cartesiano ortogonale RC(O, x, y, z). Calcolare la distanza tra la retta r e il piano \pi definiti dalle equazioni cartesiane

 

\\ r:\ \begin{cases}x+y=0 \\ x+z=0\end{cases} \\ \\ \pi:\ x+2y-3z-3=0

 

solo dopo aver studiato la mutua posizione.

 

II) Siano \pi il piano definito dall'equazione cartesiana

 

\pi:\ y+z-1=0

 

e r la retta descritta dalle equazioni parametriche:

 

r:\ \begin{cases}x=2t\\ y=2+t\\ z=2-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

Calcolare la distanza tra il piano e la retta, dopo aver stabilito la loro posizione reciproca.

 

III) Calcolare la distanza tra la retta r e il piano \pi di equazioni:

 

r: \ \begin{cases}x-2y-1=0\\ y-z=0\end{cases}\\ \\ \\ \pi:\ (x,y,z)=(-1,0,0)+s(1,1,0)+t(1,0,1)\ \ \ \mbox{con}\ s,t\in\mathbb{R}

 

dopo aver mostrato che r\ \mbox{e} \ \pi sono paralleli esternamente.

 

IV) Dati la retta r rappresentata dalle equazioni

 

r:\ \begin{cases}x=3+2t\\ y=t\\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

e il piano \pi definito dalle equazioni parametriche

 

\pi:\ \begin{cases}x=1+s+t\\ y=1+2s-t\\ z=1+t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

 

Calcolare la distanza tra r e \pi, dopo aver dimostrato che la retta è parallela esterna al piano.

 

V) Fissato il sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O, x, y, z) nello spazio euclideo \mathbb{R}^3.

 

(a) Trovare il piano \pi passante per il punto A(0,1,0) e perpendicolare al vettore \mathbf{v}=(2,1,0).

 

(b) Trovare la retta r che passa per l'origine degli assi e che è parallela al vettore \mathbf{w}=(1,-2,0).

 

(c) Calcolare la distanza tra la retta e il piano, dopo aver dimostrato che sono paralleli esterni.

 

VI) Fissato il sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O, x, y, z) nello spazio euclideo \mathbb{R}^3 e dati punti A,B,C di coordinate

 

A(1,1,1), \ B(2,0,1),\ C(0,1,0)

 

Calcolare la distanza tra il piano \pi passante per A,B \ \mbox{e} \ C e la retta di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=2t-1\\ y=1+t\\ z=-3t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

VII) In \mathbb{R}^3, munito del sistema di riferimento Oxyz, sono dati il fascio di piani descritto dalle equazioni cartesiane

 

\mathrm{F}:\ (k+1)x+2y-kz-3=0

 

e la retta r definita dalle equazioni parametriche

 

r: \ \begin{cases}x=1+t\\ y=t\\ z=0\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

(a) Trovare il piano \pi del fascio parallelo alla retta r;

 

(b) Calcolare la distanza tra il piano \pi e la retta r.

 

VIII) Data la retta r di equazioni cartesiane

 

r:\ \begin{cases}x+2y-z-1=0\\ y-3z+1=0\end{cases}

 

determinare i piani appartenente al fascio improprio

 

\mathrm{F}:\ x+3y-4z+d=0

 

che distano \sqrt{26} da r.

 

IX) Discutere la mutua posizione tra il piano di equazione

 

\pi:\ kx+2ky-3z+k=0

 

e la retta descritta dalle relazioni

 

r:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1-t\\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

e calcolare la loro distanza, al variare del parametro reale k.

 

X) Calcolare la distanza tra la retta r di equazioni cartesiane

 

r:\ \begin{cases}kx+3y=0\\ x-3kz=1\end{cases}

 

e il piano \pi individuato dall'equazione

 

\pi:\ x+(k-1)z-2=0

 

al variare del parametro reale k.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Distanza tra retta e piano nello spazio in forma cartesiana 

 

II) Posizione reciproca e distanza tra piano e retta nello spazio

 

III) Distanza tra piano in forma parametrica e retta in forma cartesiana

 

IV) Distanza tra piano e retta in forma parametrica

 

V) Scrivere le equazioni di piano e retta e calcolarne la distanza

 

VI) Distanza tra piano per tre punti e retta in forma parametrica

 

VII) Piano di un fascio parallelo a una retta e calcolo distanza

 

VIII) Piano di un fascio improprio con distanza fissata da una retta nello spazio

 

IX) Studiare posizione e distanza tra piano e retta con parametro

 

X) Distanza piano-retta al variare di un parametro

 

 

Lezione correlata

 
 

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