Esercizi sulla distanza retta-piano

Eccoci alle prese con gli esercizi sulla distanza tra retta e piano nello spazio. Le tracce disponibili a partire da questa pagina sono corredate da svolgimenti completi, commentati passaggio per passaggio e con tutti i riferimenti per colmare eventuali lacune pregresse.

Riguardo al calcolo della distanza tra enti geometrici nello spazio, oltre agli esercizi risolti sulla distanza retta-piano ci sono svariate altre schede che ricoprono l'argomento:

- esercizi sulla distanza tra due punti nello spazio;

- esercizi sulla distanza punto-piano;

- esercizi sulla distanza punto-retta nello spazio;

- esercizi sulla distanza tra due rette nello spazio;

- esercizi sulla distanza tra due piani;

- esercizi sulla distanza retta-piano (quella che state leggendo).

Problemi di memoria e/o con la teoria? Potete ripassare le formule, le definizioni e i metodi di risoluzione degli esercizi direttamente nella lezione sulla distanza tra retta e piano.

Esercizi risolti sulla distanza tra retta e piano

I) Sia R^3 lo spazio tridimensionale munito del riferimento cartesiano ortogonale RC(O, x, y, z). Calcolare la distanza tra la retta r e il piano π definiti dalle equazioni cartesiane

r: x+y = 0 ; x+z = 0 ; π: x+2y-3z-3 = 0

solo dopo aver studiato la mutua posizione.

II) Siano π il piano definito dall'equazione cartesiana

π: y+z-1 = 0

e r la retta descritta dalle equazioni parametriche:

r: x = 2t ; y = 2+t ; z = 2-t con t∈R

Calcolare la distanza tra il piano e la retta, dopo aver stabilito la loro posizione reciproca.

III) Calcolare la distanza tra la retta r e il piano π di equazioni:

r: x-2y-1 = 0 ; y-z = 0 ; π: (x,y,z) = (-1,0,0)+s(1,1,0)+t(1,0,1) con s,t∈R

dopo aver mostrato che r e π sono paralleli esternamente.

IV) Dati la retta r rappresentata dalle equazioni

r: x = 3+2t ; y = t ; z = t con t∈R

e il piano π definito dalle equazioni parametriche

π: x = 1+s+t ; y = 1+2s-t ; z = 1+t con s,t∈R

Calcolare la distanza tra r e π, dopo aver dimostrato che la retta è parallela esterna al piano.

V) Fissato il sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O, x, y, z) nello spazio euclideo R^3.

(a) Trovare il piano π passante per il punto A(0,1,0) e perpendicolare al vettore v = (2,1,1).

(b) Trovare la retta r che passa per l'origine degli assi e che è parallela al vettore w = (1,-2,0).

(c) Calcolare la distanza tra la retta e il piano, dopo aver dimostrato che sono paralleli esterni.

VI) Fissato il sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O, x, y, z) nello spazio euclideo R^3 e dati punti A,B,C di coordinate

A(1,1,1), B(1,0,1), C(0,1,0)

Calcolare la distanza tra il piano π passante per A,B e C e la retta di equazioni parametriche

r: x = 2t-1 ; y = 1+t ; z = -3t con t∈R

VII) In R^3, munito del sistema di riferimento Oxyz, sono dati il fascio di piani descritto dalle equazioni cartesiane

F: (k+1)x+2y-kz-3 = 0

e la retta r definita dalle equazioni parametriche

r: x = 1+t ; y = t ; z = 0 con t∈R

(a) Trovare il piano π del fascio parallelo alla retta r;

(b) Calcolare la distanza tra il piano π e la retta r.

VIII) Data la retta r di equazioni cartesiane

r: x+2y-z-1 = 0 ; y-3z+1 = 0

determinare i piani appartenente al fascio improprio

F: x+3y-4z+d = 0

che distano √(26) da r.

IX) Discutere la mutua posizione tra il piano di equazione

π: kx+2ky-3z+k = 0

e la retta descritta dalle relazioni

r: x = 1+t ; y = 1-t ; z = t con t∈R

e calcolare la loro distanza, al variare del parametro reale k.

X) Calcolare la distanza tra la retta r di equazioni cartesiane

r: kx+3y = 0 ; x-3kz = 1

e il piano π individuato dall'equazione

π: x+(k-1)z-2 = 0

al variare del parametro reale k.

Svolgimenti e soluzioni

I) Distanza tra retta e piano nello spazio in forma cartesiana 

II) Posizione reciproca e distanza tra piano e retta nello spazio

III) Distanza tra piano in forma parametrica e retta in forma cartesiana

IV) Distanza tra piano e retta in forma parametrica

V) Scrivere le equazioni di piano e retta e calcolarne la distanza

VI) Distanza tra piano per tre punti e retta in forma parametrica

VII) Piano di un fascio parallelo a una retta e calcolo distanza

VIII) Piano di un fascio improprio con distanza fissata da una retta nello spazio

IX) Studiare posizione e distanza tra piano e retta con parametro

X) Distanza piano-retta al variare di un parametro

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Lezione correlata

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