Esercizi sulla distanza tra due rette nello spazio

Questa pagina propone una raccolta di esercizi sulla distanza tra due rette nello spazio, completamente risolti e ordinati per difficoltà crescente, con tutte le osservazioni e i calcoli necessari per giungere alla soluzione.

 

Gli esercizi risolti sulla distanza tra rette nello spazio rientrano nel più ampio contesto del calcolo delle distanze tra enti geometrici nello spazio, e a tal proposito potete consultare anche le seguenti schede:

 

esercizi sulla distanza tra due punti nello spazio;

 

esercizi sulla distanza punto-piano;

 

esercizi sulla distanza punto-retta nello spazio;

 

- esercizi sulla distanza tra due rette nello spazio (quella che state leggendo);

 

esercizi sulla distanza tra due piani;

 

esercizi sulla distanza retta-piano.

 

Da ultimo, se volete ripassare la teoria e più precisamente le formule, le definizioni e le tecniche di risoluzione degli esercizi, vi suggeriamo di leggere la lezione sulla distanza tra due rette nello spazio.

 

Esercizi risolti sulla distanza tra rette nello spazio

 

I) Fissato l'usuale riferimento cartesiano ortogonale RC(O, x, y, z), si considerino le rette r,s di equazioni cartesiane

 

\\ r:\ \begin{cases}x+y-z-1=0\\ 2x+z-3=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-y-z+1=0\\ x-y=0\end{cases}

 

Determinare la distanza tra le due rette, dopo aver studiato la loro posizione reciproca.

 

II) Calcolare la distanza tra le rette sghembe r,s definite dalle seguenti equazioni:

 

\\ r:\ \begin{cases}x-1=0 \\ y-z=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=t\\ y=0 \\ z=1+2t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

III) Sia E^3 lo spazio tridimensionale in cui è stato fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano RC(O, x, y, z). Calcolare la distanza tra le rette sghembe di equazioni parametriche

 

\\ r:\ (x,y,z)=(1,1,1)t\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ s:\ (x,y,z)=(u,0,1+u)\ \ \ \mbox{con} \ u\in\mathbb{R}

 

IV) Fissato in \mathbb{R}^3 l'usuale riferimento cartesiano Oxyz, calcolare la distanza tra le rette parallele individuate dalle seguenti equazioni parametriche

 

\\ r: \ \begin{cases}x=3t \\ y=2t\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=2+3t\\ y=4+2t\\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

V) Calcolare la distanza tra le rette parallele r,s di equazioni cartesiane

 

\\ r:\ x-y=2y+z-6=0\\ \\ s:\ x-y-1=2x-4+z=0

 

VI) Dopo aver dimostrato che r,s definite dalle equazioni cartesiane

 

\\ r:\ \begin{cases}x-y-1=0 \\ 2x+z=0\end{cases}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}y+z-2=0\\ y-3z-1=0\end{cases}

 

sono rette sghembe, calcolare la loro distanza.

 

VII) Sia d la distanza fra le rette

 

\\ r: \ \begin{cases}x=-1+2t\\ y=2+t\\ z=1-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s: \ \begin{cases} 3x+6y-4=0 \\ y-z-6=0 \end{cases}

 

Quale delle seguenti risposte è corretta?

 

(1) r,s sono incidenti e d(r,s)=0;

 

(2) r,s sono parallele e d(r,s)=\frac{\sqrt{210}}{3};

 

(3) r,s sono sghembe e d(r,s)=\frac{\sqrt{210}}{3};

 

(4) r,s sono parallele e d(r,s)=\frac{7\sqrt{5}}{3};

 

(5) r,s sono sghembe e d(r,s)=\frac{7\sqrt{5}}{3}.

 

VIII) Nello spazio \mathbb{R}^3, munito del riferimento cartesiano standard Oxyz, sono date le rette r,s definite dalle equazioni:

 

\\ r: \ \begin{cases}x-2y+z=1 \\ 3x -y+z=0 \end{cases}\\ \\ \\ s: \ \begin{cases}2x+y-z=0 \\ x +3y+2z=2 \end{cases}

 

Dopo aver stabilito la posizione reciproca tra r e s, calcolare la distanza tra le due rette.

 

IX) Trovare gli eventuali valori del parametro reale h per i quali le rette definite dalle equazioni

 

\\ r:\ \begin{cases}hx-y-1=0 \\ hy-z=0\end{cases}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}2x+y-z=0\\ 2y-z=0\end{cases}

 

sono rette parallele. Per questi valori del parametro determinare la distanza tra le rette r,s.

 

X) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano Oxyz dello spazio \mathbb{R}^3 e date le rette di equazioni:

 

\\ r:\ \begin{cases}x=ht\\ y=t\\ z=3\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-2hy-1=0 \\ y-2hz-1=0\end{cases}

 

(a) Stabilire per quali valori di h, \ r,s sono rette sghembe.

 

(b) Determinare i valori di h per cui la distanza tra le rette sia uguale a zero.

 

(c) Spiegare perché i risultati di (a) e quelli di (b) sono antitetici.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolo della distanza tra due rette nello spazio 

 

II) Calcolare la distanza tra due rette sghembe

 

III) Distanza tra due rette nello spazio in forma parametrica

 

IV) Distanza tra rette parallele nello spazio

 

V) Calcolo della distanza tra due rette parallele nello spazio

 

VI) Distanza tra due rette nello spazio e provare che sono sghembe

 

VII) Distanza tra due rette sghembe

 

VIII) Distanza tra due rette nello spazio in forma cartesiana

 

IX) Distanza tra due rette parallele nello spazio con parametro in forma cartesiana

 

X) Distanza nulla tra due rette nello spazio al variare di un parametro

 

 

Lezione correlata

 
 

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