Esercizi sulla distanza punto-retta nello spazio

Benvenuti nella scheda di esercizi sulla distanza tra punto e retta nello spazio. Gli esercizi presenti nell'elenco sono svolti e spiegati passo-passo, con tutti i calcoli e gli approfondimenti necessari per fornire una preparazione completa.

 

Nota bene: qui su YM ci sono diverse altre schede di esercizi risolti dedicate al calcolo della distanza tra enti geometrici nello spazio, e in particolare:

 

esercizi sulla distanza tra due punti nello spazio;

 

esercizi sulla distanza punto-piano;

 

- esercizi sulla distanza punto-retta nello spazio (quella che state leggendo);

 

esercizi sulla distanza tra due rette nello spazio;

 

esercizi sulla distanza tra due piani;

 

esercizi sulla distanza retta-piano.

 

Problemi con la teoria? Nella lezione sulla distanza tra punto e retta nello spazio trovate definizioni e formule, oltre ad alcuni esempi svolti e i vari metodi di risoluzione degli esercizi.

 

Esercizi risolti sulla distanza tra punto e retta nello spazio

 

I) Fissato l'usuale riferimento cartesiano ortonormale Oxyz nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, calcolare le distanze del punto P(1,3,2) dagli assi coordinati r_{x},r_{y},r_{z}.

 

II) Sia Oxyz l'usuale sistema di riferimento cartesiano dello spazio tridimensionale. Calcolare la distanza tra il punto P(2,1,5) e la retta definita dall'equazione vettoriale parametrica

 

r: \ (x,y,z)=(1,1,5)+(1,-1,0)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

III) Fissato l'usuale sistema di riferimento ortogonale Oxyz, determinare la distanza tra il punto P(1,-3,2) e la retta r descritta dalle equazioni cartesiane:

 

r:\ \begin{cases}x+y-z=0\\ x-2y-1=0\end{cases}

 

IV) Calcolare la distanza tra il punto P(1,1,1) e la retta r passante per l'origine degli assi coordinati O(0,0,0) e parallela al versore \hat{\mathbf{v}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right).

 

V) Siano A(1,0,1) e B(1,1,0) due punti di \mathbb{R}^3 in cui è stato fissato il sistema di riferimento cartesiano canonico Oxyz. Calcolare la distanza del punto P(3,1,5) dalla retta r passante per A e per B.

 

VI) Si consideri il sistema monometrico ortogonale standard Oxyz nello spazio. Calcolare la distanza della retta r parallela al vettore \mathbf{v}=(1,1,0) e passante per Q(1,3,7) dall'origine del sistema di riferimento.

 

VII) Si fissi il sistema di riferimento cartesiano canonico Oxyz e si considerino i punti A(1,0,1), \ B(1,1,3).

 

(a) Scrivere le equazioni parametriche della retta r passante per A\ \mbox{e} \ B;

 

(b) Determinare la proiezione ortogonale del punto C(0,5,1) sulla retta r;

 

(c) Usare la definizione di distanza di un punto da una retta nello spazio, calcolare l'area del triangolo di vertici A,B,C.

 

VIII) Fissato il sistema di riferimento ortogonale Oxyz nello spazio \mathbb{R}^3, si calcoli la distanza dall'origine del riferimento della retta r, asse del fascio di piani \mathrm{F} di equazione

 

\mathrm{F}:\ (\lambda+\mu)x+(\lambda-\mu)y-(\lambda+2\mu)z+\mu=0

 

con \lambda,\,\mu numeri reali non contemporaneamente nulli.

 

IX) Calcolare la distanza tra la retta r definita da

 

r: \ (x,y,z)=(h,0,1) t \ \ \ \mbox{con} \ h,t\in\mathbb{R}

 

e il punto P(1,0,0), al variare del parametro reale h. Determinare inoltre i valori di h affinché la distanza tra la retta e il punto sia uguale a \sqrt{\frac{1}{10}}.

 

X) Siano r_{1},r_{2} le rette definite dalle equazioni parametriche

 

\\ r_{1}: \ (x,y,z)=t(1,0,1)\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ r_{2}:\ (x,y,z)=t(1,1,0) \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

Determinare il luogo geometrico dei punti dello spazio che equidistano da r_{1} e da r_2.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Distanza di un punto dagli assi nello spazio 

 

II) Distanza di un punto nello spazio da una retta parametrica

 

III) Distanza di un punto nello spazio da una retta in forma cartesiana

 

IV) Distanza di un punto da una retta nello spazio individuata da un versore

 

V) Distanza di un punto da una retta per due punti nello spazio

 

VI) Distanza punto-retta nello spazio e retta con vettore direttore

 

VII) Distanza punto-retta nello spazio e area di un triangolo

 

VIII) Distanza punto-retta nello spazio e asse di un fascio di piani

 

IX) Retta nello spazio con parametro e distanza da un punto

 

X) Luogo dei punti dello spazio equidistanti da due rette

 

 

Lezione correlata

 
 

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