Esercizi: piano ortogonale a una retta nello spazio

Questa scheda racchiude una selezione di esercizi sul piano ortogonale a una retta nello spazio. Nello specifico, la richiesta che accomuna le tracce prevede di individuare il piano ortogonale a una retta e passante per un punto, che sotto tali ipotesi è univocamente determinato. Tutti gli esercizi sono svolti nel dettaglio ed elencati per livelli di difficoltà crescente.

Le tracce di questa raccolta coprono le varie tipologie di esercizi tipicamente proposte in sede d'esame nei corsi universitari, e in particolare le varie eventualità e le condizioni di partenza con cui può essere richiesto di determinare il piano passante per un punto e perpendicolare a una retta nello spazio.

Siete in cerca della teoria e dei metodi di risoluzione degli esercizi, a seconda che piano e/o retta siano forniti in forma parametrica o cartesiana? Date un'occhiata alla lezione: piano ortogonale a una retta nello spazio. ;)

Esercizi risolti: piano ortogonale a una retta nello spazio e passante per un punto

I) Sia data la retta descritta dall'equazione parametrica vettoriale

$r:\ (x,y,z)=(0,0,1)+t(1,2,-2) \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$

Scrivere l'equazione del piano $\pi$ perpendicolare a e passante per l'origine degli assi.

II) Scrivere l'equazione del piano $\pi$ ortogonale alla retta di equazioni cartesiane

$r:\ \begin{cases}x+2z-4=0\\ y+z-4=0\end{cases}$

e passante per .

III) Trovare il piano passante per il punto e perpendicolare alla retta che passa per i punti e .

IV) Siano dati la retta di equazioni parametriche

$r:\ \begin{cases}x=1-t\\ y=t \\ z=1+t\end{cases}\ \ \ \mbox{con}\ t\in\mathbb{R}$

e il punto . Determinare l'equazione del piano ortogonale a passante per .

V) Trovare il piano passante per e perpendicolare alla retta parallela al vettore $\mathbf{v}=(1,3,1)$ .

VI) Sia data la retta di equazioni cartesiane

$r:\ \begin{cases}x+z-1=0\\ y-z-3=0\end{cases}$

Scrivere l'equazione del piano $\pi$ perpendicolare a e passante per il punto di intersezione tra la retta e il piano $\pi_1$ di equazione cartesiana

$\pi_1:\ x+y+z-3=0$

VII) Sia data la retta di equazioni parametriche

$r:\ \begin{cases}x=1-t \\ y=1-2t \\ z=2-2t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$

Trovare i piani perpendicolari a e che distano dal punto .

VIII) Determinare il piano ortogonale alla retta di equazioni parametriche

$r:\ (x,y,z)=(1,2,-1)+t(3,-1,-2)\ \ \ \mbox{con}\ t\in\mathbb{R}$

che appartiene al fascio generato dai piani di equazioni cartesiane

$\\ \pi_1:\ x-z-3=0\\ \\ \pi_2:\ x-y-2=0$

IX) Sia la retta di equazioni parametriche

$r:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1-3t\\ z=-2t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$

Determinare gli eventuali valori di $h\in\mathbb{R}$ affinché la relazione

$\pi_{h}:\ hx+(h-4)y+(h-3)z-1=0$

sia l'equazione di un piano ortogonale alla retta.

X) Fissato il numero reale , si consideri la retta $r_{h}$ di equazioni parametriche

$r_{h}:\ (x,y,z)=(0,1,1)+t(1,-1,-h) \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$

Trovare, se esistono, i valori del parametro in modo che il piano $\pi$ , perpendicolare alla retta e passante per , formi un angolo di $45^{\circ}$ con il piano coordinato .

Svolgimenti e soluzioni

I) Piano ortogonale a una retta in equazioni parametriche

II) Equazione del piano ortogonale a una retta e passante per un punto

III) Piano passante per un punto e ortogonale a una retta per due punti

IV) Equazione del piano per un punto e perpendicolare a una retta in forma parametrica

V) Trovare il piano passante per un punto e ortogonale a una retta con vettore direttore

VI) Esercizio su piani e rette perpendicolari

VII) Piani perpendicolari a una retta con distanza da un punto

VIII) Piano di un fascio di piani ortogonale a una retta

IX) Piano con parametro perpendicolare a una retta

X) Retta nello spazio con parametro e ortogonalità con un piano

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