Esercizi sulla distanza punto-piano

Pronti per mettervi alla prova con gli esercizi sulla distanza tra punto e piano nello spazio? In questa scheda vi proponiamo una raccolta di tracce risolte, ordinate per livelli di difficoltà crescente e corredate da svolgimenti spiegati nel dettaglio.

 

Per quanto riguarda il tema del calcolo delle distanze tra enti geometrici nello spazio, qui su YM ci sono diverse altre schede che permettono di avere un quadro completo sull'argomento:

 

esercizi sulla distanza tra due punti nello spazio;

 

- esercizi sulla distanza punto-piano (quella che state leggendo);

 

esercizi sulla distanza punto-retta nello spazio;

 

esercizi sulla distanza tra due rette nello spazio;

 

esercizi sulla distanza tra due piani;

 

esercizi sulla distanza retta-piano.

 

Chi vuole studiare la teoria e rivedere le formule, le definizioni e le tecniche di risoluzione degli esercizi, può dare uno sguardo alla lezione sulla distanza tra punto e piano. :)

 

Esercizi risolti sulla distanza tra punto e piano

 

I) Fissato l'usuale riferimento cartesiano ortonormale RC(O, x, y, z) nello spazio euclideo \mathbb{R}^3, calcolare la distanza tra il piano di equazione cartesiana

 

\pi: \ x-3y+z-3=0

 

e il punto P(1,0,1).

 

II) Determinare la distanza tra il piano di equazioni parametriche

 

\pi:\ \begin{cases}x=1+s\\ y=1+t \\ z=1+s+t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

 

e il punto di coordinate P(1,1,0).

 

III) Fissato l'usuale sistema di riferimento ortogonale O x y z nello spazio tridimensionale, calcolare la distanza tra il punto Q(1,0,\sqrt{3}) e il piano \pi passante per i punti

 

A(0,0,0)\ \ \ , \ \ \ B(1,1,0) \ \ \ , \ \ \ C(0,0,1)

 

IV) Fissato l'usuale sistema monometrico ortogonale O x y z nello spazio \mathbb{R}^3, si calcoli la distanza tra il punto Q(3,1,0) e il piano \pi passante per P(0,3,0) e generato dai vettori

 

\mathbf{v}=(1,1,0) \ \ \ , \ \ \ \mathbf{w}=(1,1,1)

 

V) Trovare i valori del parametro reale k affinché il piano \pi definito dall'equazione

 

\pi:\ x-3y+2z-1=0

 

abbia distanza \frac{3}{\sqrt{14}} dal punto Q(1,k,k).

 

VI) Fissato l'usuale sistema ortogonale O x y z, determinare i punti dell'asse delle ordinate che distano 4 dal piano di equazione cartesiana

 

\pi:\ x+2y-2z-2=0

 

VII) Si consideri il fascio di piani \mathrm{F} avente come sostegno la retta r di equazioni

 

r:\ \begin{cases}y=0\\ x-z-1=0\end{cases}

 

Trovare i piano \pi\in\mathrm{F} avente distanza \frac{1}{\sqrt{3}} dal punto P(1,1,0).

 

VIII) Siano r la retta descritta dalle equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=1-t\\ y=1+t\\ z=2t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

e \pi il piano di equazione cartesiana

 

\pi:\ 2x-3y-2z-1=0

 

Determinare se esistono i punti P\in r tali che d(P,\pi)=\frac{4}{\sqrt{17}}.

 

IX) Sia s la retta di equazioni cartesiane

 

s:\ \begin{cases}2x+z+2=0\\ 2y+z+1=0\end{cases}

 

e sia \pi il piano di equazione:

 

\pi:\ x-y-2z+1=0

 

Calcolare i punti di s aventi distanza 2\sqrt{6} da \pi.

 

X) Dimostrare che il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti dai piani di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ x+3y+z-1=0\\ \\ \pi_2:\ 3x+y+z-3=0

 

è costituito dall'unione di due piani perpendicolari.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Distanza tra punto nello spazio e piano in forma cartesiana 

 

II) Distanza tra un piano in forma parametrica e un punto nello spazio

 

III) Distanza tra un punto e un piano per tre punti

 

IV) Distanza tra un punto e un piano dati i vettori di giacitura

 

V) Distanza tra un piano e un punto parametrico nello spazio

 

VI) Punti dello spazio su un asse con distanza fissata da un piano

 

VII) Piano di un fascio con una distanza fissata da un punto

 

VIII) Punti di una retta nello spazio con distanza da un piano

 

IX) Punti con una certa distanza da un piano

 

X) Luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da due piani

 

 

Lezione correlata

 
 

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