Esercizi: angolo tra retta e piano

A partire da questa pagina potete cimentarvi con una selezione di esercizi sull'angolo tra retta e piano nello spazio, elencati in ordine di difficoltà crescente. Tutti gli esercizi sono risolti e spiegati nel dettaglio, e corredati dai calcoli necessari per arrivare alla soluzione.

Per quanto riguarda il calcolo degli angoli formati tra enti geometrici nello spazio, ci sono altre due schede che potrebbero interessarvi. Non perdetevele ;)

- esercizi sugli angoli tra rette nello spazio;

- esercizi sugli angoli tra piani;

- esercizi sugli angoli tra retta e piano (quella che state leggendo).

Se volete ripassare la teoria, i metodi per risolvere gli esercizi, svariati esempi svolti e le varie formule, vi rimandiamo alla lezione correlata: angolo tra retta e piano.

Esercizi risolti: angolo tra retta e piano

I) Fissato il riferimento cartesiano ortogonale nello spazio tridimensionale , si determini l'ampiezza dell'angolo tra il piano di equazione cartesiana

e la retta di equazioni parametriche

r: x = 1−t ; y = t ; z = 0 con t∈R

II) Dimostrare che il piano di equazione cartesiana

e la retta descritta parametricamente da

formano un angolo di .

III) Fissato il sistema cartesiano usuale nello spazio tridimensionale , si calcoli l'ampiezza dell'angolo formato dalla retta di equazioni cartesiane

e il piano individuato da

Stabilire inoltre la posizione reciproca tra .

IV) Fissato l'usuale sistema di riferimento nello spazio tridimensionale, si calcoli l'ampiezza dell'angolo formato dal piano di equazione parametrica vettoriale

e dalla retta definita dall'equazione:

V) Sia fissato il sistema di riferimento cartesiano nello spazio tridimensionale . Calcolare l'angolo tra la retta parallela al vettore

e il piano avente vettori di giacitura

w_1 = (√(2),0,√(3)) ; w_2 = (0,−2√(3),−3√(2))

VI) Fissato il sistema di riferimento cartesiano nello spazio tridimensionale , si considerino il vettore

e i punti di coordinate

(a) Determinare il piano passante per e avente direzione perpendicolare individuata dal vettore .

(b) Scrivere le equazioni parametriche della retta passante per i punti .

VII) Determinare i valori del parametro in modo che la retta passante per e parallela al vettore formi con il piano coordinato un angolo di ampiezza radianti.

VIII) Tra tutti i piani del fascio avente sostegno la retta di equazioni cartesiane

s: x−y = 0 ; x−z = 0

determinare, se esistono, quelli che formano un angolo di con la retta definita da:

r: x = 1+t ; y = t ; z = 1 con t∈R

IX) Scritta l'equazione cartesiana del piano passante per i punti

si determinino le rappresentazioni delle rette che passano per il punto , parallele al vettore e che formano con il piano un angolo di radianti.

X) Fissato il sistema di riferimento cartesiano standard nello spazio euclideo , determinare tutti i piani passanti per l'origine e che formano angoli congruenti con gli assi coordinati.

Svolgimenti e soluzioni

I) Angolo tra piano in forma cartesiana e retta parametrica

II) Calcolare angolo tra piano e retta nello spazio

III) Angolo tra retta e piano in forma cartesiana

IV) Angolo tra retta e piano in forma parametrica

V) Angolo tra piano e retta dai vettori di giacitura

VI) Scrivere le equazioni di retta e piano e calcolare l'angolo compreso

VII) Valore dell'angolo tra retta e piano con un parametro

VIII) Piano di un fascio e angolo formato con una retta nello spazio

IX) Piano per tre punti e angolo con una retta nello spazio

X) Piani per l'origine e angoli congruenti con gli assi coordinati

Buon proseguimento su YouMath,