Esercizi: angolo tra retta e piano

A partire da questa pagina potete cimentarvi con una selezione di esercizi sull'angolo tra retta e piano nello spazio, elencati in ordine di difficoltà crescente. Tutti gli esercizi sono risolti e spiegati nel dettaglio, e corredati dai calcoli necessari per arrivare alla soluzione.

 

Per quanto riguarda il calcolo degli angoli formati tra enti geometrici nello spazio, ci sono altre due schede che potrebbero interessarvi. Non perdetevele ;)

 

esercizi sugli angoli tra rette nello spazio;

 

esercizi sugli angoli tra piani;

 

- esercizi sugli angoli tra retta e piano (quella che state leggendo).

 

Se volete ripassare la teoria, i metodi per risolvere gli esercizi, svariati esempi svolti e le varie formule, vi rimandiamo alla lezione correlata: angolo tra retta e piano.

 

Esercizi risolti: angolo tra retta e piano

 

I) Fissato il riferimento cartesiano ortogonale RC(O, x, y, z) nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, si determini l'ampiezza dell'angolo tra il piano di equazione cartesiana

 

\pi:\ x-z+1=0

 

e la retta di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=1-t\\ y=t\\ z=0\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

II) Dimostrare che il piano \pi di equazione cartesiana

 

\pi:\ 2x-y=0

 

e la retta r descritta parametricamente da

 

r:\ (x,y,z)=(0,1,0)+(3,1,0)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

formano un angolo di 45^{\circ}.

 

III) Fissato il sistema cartesiano usuale RC(O, x, y, z) nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, si calcoli l'ampiezza dell'angolo formato dalla retta r di equazioni cartesiane

 

r:\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z}{3}

 

e il piano \pi individuato da

 

\pi: \ 3x-3y+2z-7=0

 

Stabilire inoltre la posizione reciproca tra r\ \mbox{e} \ \pi.

 

IV) Fissato l'usuale sistema di riferimento O x y z nello spazio tridimensionale, si calcoli l'ampiezza dell'angolo formato dal piano \pi di equazione parametrica vettoriale

 

\pi:\ (x,y,z)=(1,0,0)+(\sqrt{5},1,0)s+(-2,0,1)t\ \ \ \mbox{con}\ s,t\in\mathbb{R}

 

e dalla retta r definita dall'equazione:

 

r:\ (x,y,z)=(0,1,1)+(0,1,0)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

V) Sia fissato il sistema di riferimento cartesiano O x y z nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3. Calcolare l'angolo tra la retta r parallela al vettore

 

\mathbf{v}=(2,2,0)

 

e il piano \pi avente vettori di giacitura

 

\\ \mathbf{w}_1=(\sqrt{2},0,\sqrt{3}) \\ \\ \mathbf{w}_2=(0,-2\sqrt{3},-3\sqrt{2})

 

VI) Fissato il sistema di riferimento cartesiano O x y z nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, si considerino il vettore

 

\mathbf{n}_1=(\sqrt{2},\sqrt{2},1)

 

e i punti A,B,P di coordinate

 

A(1,0,1),\ B(2,1,1),\ P(0,1,0)

 

(a) Determinare il piano \pi passante per P e avente direzione perpendicolare individuata dal vettore \mathbf{n}_{1}.

 

(b) Scrivere le equazioni parametriche della retta r passante per i punti A\ \mbox{e} \ B.

 

(c) Calcolare l'ampiezza dell'angolo \widehat{r\pi} compreso tra la retta e il piano.

 

VII) Determinare i valori del parametro h\in\mathbb{R} in modo che la retta passante per (1,0,1) e parallela al vettore \mathbf{v}_{h}=(1,0,h) formi con il piano coordinato Oxy un angolo di ampiezza \frac{\pi}{3} radianti.

 

VIII) Tra tutti i piani del fascio \mathrm{F} avente sostegno la retta s di equazioni cartesiane

 

s:\ \begin{cases}x-y=0\\ x-z=0\end{cases}

 

determinare, se esistono, quelli che formano un angolo di 30^{\circ} con la retta r definita da:

 

r:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=t\\ z=1\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

IX) Scritta l'equazione cartesiana del piano \Pi passante per i punti

 

A(1,0,0), \ B\left(0,\frac{1}{2}, 0\right),\ C(0,0,1)

 

si determinino le rappresentazioni delle rette r_{h} che passano per il punto D(-1,1,3), parallele al vettore \mathbf{v}_{h}=(1,h,0) e che formano con il piano un angolo di \frac{\pi}{3} radianti.

 

X) Fissato il sistema di riferimento cartesiano standard RC(O, x, y, z) nello spazio euclideo \mathbb{R}^3, determinare tutti i piani passanti per l'origine e che formano angoli congruenti con gli assi coordinati.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Angolo tra piano in forma cartesiana e retta parametrica

 

II) Calcolare angolo tra piano e retta nello spazio

 

III) Angolo tra retta e piano in forma cartesiana

 

IV) Angolo tra retta e piano in forma parametrica

 

V) Angolo tra piano e retta dai vettori di giacitura

 

VI) Scrivere le equazioni di retta e piano e calcolare l'angolo compreso

 

VII) Valore dell'angolo tra retta e piano con un parametro

 

VIII) Piano di un fascio e angolo formato con una retta nello spazio

 

IX) Piano per tre punti e angolo con una retta nello spazio

 

X) Piani per l'origine e angoli congruenti con gli assi coordinati

 

 

Lezione correlata

 
 

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