Esercizi sulle posizioni tra retta e piano

Questa pagina mette a vostra disposizione una raccolta di esercizi sulle posizioni tra retta e piano nello spazio. Tutte le tracce sono proposte per livelli di difficoltà crescente, e sono corredate da svolgimenti completi e dettagliati.

 

Gli esercizi risolti sulla posizione reciproca tra piano e retta fanno parte del più ampio gruppo di esercizi sulle posizioni tra enti geometrici nello spazio. A tal proposito vi raccomandiamo altre due schede, in modo da avere una preparazione completa sul tema:

 

- esercizi sulle posizioni tra rette nello spazio;

 

- esercizi sulle posizioni tra piani;

 

- esercizi sulle posizioni tra retta e piano (quella che state leggendo).

 

Buon divertimento! ;) Per un ripasso completo della teoria e dei metodi di risoluzione degli esercizi, potete leggere la lezione correlata: posizioni tra piano e retta.

 

Esercizi risolti sulle posizioni retta-piano

 

I) Sia \pi il piano di equazione cartesiana

 

\pi:\ 3x+2y-z-1=0

 

Determinare la retta passante per il punto P(0,1,-3) e perpendicolare al piano.

 

II) Sia dato il piano di equazione cartesiana

 

\pi:\ x-y+z=3

 

Trovare la retta perpendicolare al piano e passante per il punto P(-1,2,1).

 

III) Verificare che la retta r di equazioni cartesiane

 

r: \ \begin{cases}2x-y+3z-1=0 \\ y+z-3=0 \end{cases}

 

è parallela al piano \pi di equazione

 

\pi: \ 2x+y+5z-3=0

 

Trovare il piano che contiene la retta r e che passa per il punto P(3,1,-1).

 

IV) Trovare il piano \pi passante per il punto P(1,2,1) e parallelo alle rette di equazioni parametriche:

 

\\ r:\ \begin{cases}x=-3-t\\ y=1+t\\ z=4+4t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=2t\\ y=1+t\\ z=3+t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

V) Considerata la retta r di \mathbb{R}^3 definita dalle equazioni parametriche:

 

r:\ \begin{cases}x=2t\\ y=1\\ z=-2+t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

Determinare la sua posizione rispetto al piano \pi di equazioni cartesiane

 

\pi: \ 2x+z-3=0

 

VI)  Tra tutte le rette passanti per P(1,2,1) e perpendicolari ai piani passanti per la retta

 

t:\ x-z=3z-y-1=0

 

Determinare, se esiste, almeno una retta perpendicolare al piano \pi:\ 3x-y=0.

 

VII) Si considerino il piano \pi di equazione cartesiana

 

\pi:\ x+4y-z-15 =0

 

e la retta di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=t\\ y=1+kt\\ z=kt\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

Per quali valori di k la retta è parallela al piano?

 

VIII) Studiare la posizione reciproca tra la retta di equazioni cartesiane

 

r:\ \begin{cases}x+z=1\\ y+z=1\end{cases}

 

e il piano di equazione

 

\pi:\ hx+z=h

 

al variare del parametro reale h.

 

IX) Data la retta r di equazione:

 

\begin{cases}x-2y+4z=1\\ x+y+2kz=-2\end{cases}

 

Si trovi il valore di k in modo tale da rendere r parallela al piano passante per l'origine, per A(1,0,-1) e per B(2,2,0).

 

X) Si considerino i piani:

 

\\ \pi_1:\ ax+y-2z=0\\ \\ \pi_2:\ by+z+2b=0\\ \\ \pi_3:\ 2x-y+2z=1

 

Trovare, se esistono, i valori di a\ \mbox{e} \ b per cui la retta r:\ \pi_1\cap\pi_2 è parallela a \pi_3.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Retta per un punto perpendicolare a un piano in forma cartesiana

 

II) Retta perpendicolare a un piano con equazione cartesiana passante per un punto

 

III) Esercizio di verifica sulla posizione tra retta e piano

 

IV) Piano passante per un punto e parallelo a due rette

 

V) Esercizio sulla posizione di una retta rispetto a un piano

 

VI) Rette passanti per un punto e perpendicolari ai piani contenenti una retta

 

VII) Retta con parametro parallela a un piano

 

VIII) Posizioni retta-piano nello spazio con i sistemi lineari

 

IX) Valori di un parametro che rendono una retta parallela a un piano

 

X) Retta con parametri parallela a un piano

 

 

Lezione correlata

 
 

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