Esercizi: angolo tra piani

Questa raccolta propone una serie di esercizi sull'angolo tra due piani nello spazio, interamente svolti e spiegati passaggio per passaggio. Tutte le tracce sono elencate per livelli di difficoltà crescente.

 

Gli esercizi risolti sul calcolo dell'angolo tra due piani rientrano nel più ampio spettro di esercizi sugli angoli formati da enti geometrici nello spazio. A questo proposito ci sono altre schede che vi suggeriamo di consultare, prima o dopo, in modo da avere una preparazione completa:

 

esercizi sugli angoli tra rette nello spazio;

 

- esercizi sugli angoli tra piani (quella che state leggendo);

 

- esercizi sugli angoli tra retta e piano.

 

Buon allenamento! Ricordate che in qualsiasi momento potete passare alla lezione sull'angolo tra piani per rivedere le definizioni, le formule di calcolo, diversi esempi svolti e i metodi di risoluzione degli esercizi.

 

Esercizi risolti: angolo tra piani

 

I) Calcolare uno degli angoli formati dai piani \pi_1 \ \mbox{e} \ \pi_2 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ x+z-10=0 \\ \\ \pi_2:\ x+y-3=0

 

II) Fissato un riferimento cartesiano ortonormale RC(O, x, y, z) nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, calcolare gli angoli tra i piani \pi_1\ \mbox{e} \ \pi_2 di equazioni parametriche:

 

\\ \pi_1: \ (x,y,z)=(1,1,0)+s(1,0,1)+t(-1,1,0) \\ \\ \pi_2:\ (x,y,z)=(3,0,1)+s(1,1,2)+t(-2,1,-1)

 

con s,t\in\mathbb{R}.

 

III) Fissato il sistema di riferimento cartesiano Oxyz nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, calcolare gli angoli che il piano \pi_1 di equazione cartesiana

 

\pi_1:\ x+y+1=0

 

forma con i piani coordinati Oxy,\, Oxz, \, Oyz.

 

IV) Si fissi il sistema di riferimento cartesiano RC(O,x, y, z) nello spazio euclideo \mathbb{R}^3. Determinare l'angolo acuto formato dai piani \pi_1, \pi_2 di equazioni cartesiane:

 

\\ \pi_1:\ x+3y+2z=0 \\ \\ \pi_2: \ 4x+5y+z-1=0

 

V) Sia Oxyz il classico sistema di riferimento ortogonale dello spazio \mathbb{R}^3. Determinare l'angolo ottuso formato dai piani \pi_1\ \mbox{e} \ \pi_2 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ x+3y-z-1=0 \\ \\ \pi_2:\ x-3y-2z=0

 

VI) Fissato il sistema di riferimento ortogonale RC(O, x, y, z) nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, trovare l'angolo tra i piani di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1: \ 3x-y+z-1=0\\ \\ \pi_2: \ x+y-2z-10=0

 

scegliendo i loro vettori normali in modo che abbiano terza componente positiva.

 

VII) Fissato il sistema di riferimento ortogonale RC(O, x, y, z) in \mathbb{R}^3, calcolare le ampiezze degli angoli tra i piani \pi_1,\pi_2 di equazioni

 

\\ \pi_1: \ 2x+4y-2z+1=0 \\ \\ \\ \pi_2:\ \begin{cases}x=2+s-t\\ y=2s+t\\ z=3-s\end{cases} \ \ \ \mbox{con}\ s,t\in\mathbb{R}

 

VIII) Calcolare gli angoli tra i piani \pi_1,\pi_2 di equazioni

 

\\ \pi_1:\ 11 x +14y-4z+4=0 \\ \\  \pi_2: \ (x,y,z)=(-8,1,0)s+(-3,0,1)t\ \ \ \mbox{con}\ s,t\in\mathbb{R}

 

IX) Trovare i valori del parametro h in modo tale che i piani di equazioni cartesiane

 

\alpha: \ 2x+y+z=0\\ \\ \beta:\ hx+z=0

 

formino un angolo di 30^{\circ}.

 

X) Fissato il sistema di riferimento ortogonale standard O x y z nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, si considerino i piani \pi_1,\pi_2 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ x+y+z-3=0\\ \\ \pi_2:\ x-y+z=0

 

Scrivere le equazioni dei piani bisettori degli angoli diedri formati da \pi_1\ \mbox{e} \ \pi_2;

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare un angolo tra due piani

 

II) Angoli tra due piani espressi con equazioni parametriche

 

III) Angoli di un piano in forma cartesiana con i piani cartesiani

 

IV) Calcolare l'angolo acuto tra due piani in forma cartesiana

 

V) Angolo ottuso formato da due piani in forma cartesiana

 

VI) Angolo tra due piani con orientazione dei vettori normali

 

VII) Angoli tra due piani con equazioni cartesiane e parametriche

 

VIII) Calcolare gli angoli tra due piani in forma mista

 

IX) Angolo tra due piani al variare di un parametro

 

X) Piani bisettori degli angoli diedri tra due piani

 

 

Lezione correlata

 
 

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