Esercizi sui fasci di piani

Gli esercizi risolti sui fasci di piani riguardano la loro classificazione tra fasci propri e impropri, e prevedono di determinarne e di studiarne le caratteristiche salienti: equazioni, piani generatori, piani esclusi...

 

Prima di mettervi alla prova con gli esercizi sui fasci di piani è opportuno aver affrontato gli esercizi sulle posizioni tra piani nello spazio, e avere dimestichezza con la relativa teoria.

 

Nel contempo per ripassare la classificazione dei fasci di piani, le proprietà che li caratterizzano e i metodi di risoluzione degli esercizi, potete leggere la lezione correlata. ;)

 

Esercizi risolti sui fasci di piani

 

I) Fissato il sistema di riferimento O x y z nello spazio tridimensionale, scrivere l'equazione del fascio di piani \mathrm{F} paralleli al piano di equazione cartesiana

 

\pi:\ x-y-2z-1=0

 

Determinare inoltre il piano del fascio che passa per il punto P(1,0,1).

 

II) (a) Scrivere l'equazione del fascio \mathrm{F} di piani generato da:

 

\\ \pi_1: \ x+3y-3z-1=0 \\ \\ \pi_2: \ y-z-2=0

 

(b) Stabilire se \mathrm{F} è un fascio improprio o proprio, e in quest'ultima eventualità determinare le equazioni parametriche della retta che lo sostiene.

 

III) Scrivere l'equazione del fascio di piani \mathrm{F} avente come sostegno la retta r di equazioni cartesiane

 

r:\ \begin{cases}x+2y-3z=0 \\ x+2y-1=0\end{cases}

 

IV) Scrivere l'equazione del fascio proprio di piani avente come sostegno la retta di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=1+3t \\ y=2-t \\ z=3+t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

V) Fissato il sistema di riferimento usuale O x y z nello spazio euclideo \mathbb{R}^{3}

 

(a) scrivere l'equazione del fascio di piani \mathrm{F} sostenuto dalla retta r passante per i punti A(1,0,1), \ B(2,1,3).

 

(b) Determinare il piano \pi\in\mathrm{F} che passa per il punto P(0,1,3).

 

VI) Scrivere l'equazione del fascio di piani \mathrm{F} passante per il punto P(1,2,3) e perpendicolare al piano \pi di equazione cartesiana

 

\pi:\ x-2y+4z-1=0

 

VII) Stabilire se le seguenti equazioni individuano fasci di piani propri o impropri. Per i fasci propri, determinare le equazioni parametriche della retta sostegno ed eventualmente l'equazione del piano escluso:

 

(a) \ \ \ \mathrm{F}_1: \ (1+k)x+2y-kz-1-3k=0 con k\in\mathbb{R}

 

(b) \ \ \ \mathrm{F}_{2}:\ \lambda x+(\lambda+\mu) y-\mu z-3\lambda+\mu=0 con i parametri \lambda,\mu non contemporaneamente nulli.

 

VIII) Siano

 

\\ \mathrm{F}_1:\ (1+k)x+2(1+k)y-(1+k)z+3+k=0 \ \ \ \mbox{con} \ k\ne -1\\ \\ \mathrm{F}_{2}:\ (\lambda-3\mu)x+3(\lambda-3\mu)y+\mu-\lambda=0\ \ \ \mbox{con}\ \lambda\ne 3\mu

 

fasci di piani.

 

(a) Stabilire \mathrm{F}_1,\mathrm{F}_2 sono fasci di piani propri o impropri;

 

(b) determinare i piani generatori;

 

(c) scrivere le equazioni delle eventuali rette sostegno e quelle dei piani esclusi, se presenti.

 

IX) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano O x y z nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, scrivere l'equazione del fascio di piani \mathrm{F} avente come sostegno la retta r di equazioni cartesiane

 

r:\ \begin{cases}x+3y-z=1\\ 2x-z=3\end{cases}

 

Determinare inoltre:

 

(a) il piano \alpha del fascio che passa per l'origine degli assi;

 

(b) il piano \beta del fascio che è parallelo al piano \gamma di equazione

 

\gamma: \ x-3y-z=1

 

X) Fissato il sistema di riferimento ortogonale RC(O, x, y, z) nello spazio tridimensionale, scrivere l'equazione del fascio \mathrm{F} di piani paralleli a \pi_1 di equazioni cartesiane

 

\pi_1: \ 3x-y-z-9=0

 

Determinare, inoltre:

 

- il piano del fascio che passa per il punto P(1,0,1);

 

- il piano del fascio contenente la retta di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=-3t\\ y=3-10t\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio: fascio improprio di piani

 

II) Stabilire se un fascio di piani è proprio o improprio

 

III) Fascio di piani generato da una retta in forma cartesiana

 

IV) Equazione cartesiana del fascio di piani generato da una retta in forma parametrica

 

V) Esercizio su fascio di piani e piano passante per un punto

 

VI) Fascio di piani passanti per un punto e ortogonali a un altro piano

 

VII) Esercizio: studiare due fasci di piani

 

VIII) Esercizio su fasci di piani, piani generatori e piani esclusi

 

IX) Determinare alcuni piani in un fascio di piani da individuare

 

X) Equazione di un fascio di piani e condizioni per piani specifici

 

 

Lezione correlata

 
 

Tags: scheda di esercizi risolti sui fasci di piani - esercizi svolti sullo studio dei fasci di piani nello spazio.