Esercizi sui fasci di piani
Gli esercizi risolti sui fasci di piani riguardano la loro classificazione tra fasci propri e impropri, e prevedono di determinarne e di studiarne le caratteristiche salienti: equazioni, piani generatori, piani esclusi...
Prima di mettervi alla prova con gli esercizi sui fasci di piani è opportuno aver affrontato gli esercizi sulle posizioni tra piani nello spazio, e avere dimestichezza con la relativa teoria.
Nel contempo per ripassare la classificazione dei fasci di piani, le proprietà che li caratterizzano e i metodi di risoluzione degli esercizi, potete leggere la lezione correlata. ;)
Esercizi risolti sui fasci di piani
I) Fissato il sistema di riferimento nello spazio tridimensionale, scrivere l'equazione del fascio di piani
paralleli al piano di equazione cartesiana
Determinare inoltre il piano del fascio che passa per il punto .
II) (a) Scrivere l'equazione del fascio di piani generato da:
(b) Stabilire se è un fascio improprio o proprio, e in quest'ultima eventualità determinare le equazioni parametriche della retta che lo sostiene.
III) Scrivere l'equazione del fascio di piani avente come sostegno la retta
di equazioni cartesiane
IV) Scrivere l'equazione del fascio proprio di piani avente come sostegno la retta di equazioni parametriche
V) Fissato il sistema di riferimento usuale nello spazio euclideo
(a) scrivere l'equazione del fascio di piani sostenuto dalla retta
passante per i punti
.
(b) Determinare il piano che passa per il punto
VI) Scrivere l'equazione del fascio di piani passante per il punto
e perpendicolare al piano
di equazione cartesiana
VII) Stabilire se le seguenti equazioni individuano fasci di piani propri o impropri. Per i fasci propri, determinare le equazioni parametriche della retta sostegno ed eventualmente l'equazione del piano escluso:
con
con i parametri
non contemporaneamente nulli.
VIII) Siano
fasci di piani.
(a) Stabilire sono fasci di piani propri o impropri;
(b) determinare i piani generatori;
(c) scrivere le equazioni delle eventuali rette sostegno e quelle dei piani esclusi, se presenti.
IX) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano nello spazio tridimensionale
, scrivere l'equazione del fascio di piani
avente come sostegno la retta
di equazioni cartesiane
Determinare inoltre:
(a) il piano del fascio che passa per l'origine degli assi;
(b) il piano del fascio che è parallelo al piano
di equazione
X) Fissato il sistema di riferimento ortogonale nello spazio tridimensionale, scrivere l'equazione del fascio
di piani paralleli a
di equazioni cartesiane
Determinare, inoltre:
- il piano del fascio che passa per il punto ;
- il piano del fascio contenente la retta di equazioni parametriche
Svolgimenti e soluzioni
I) Esercizio: fascio improprio di piani
II) Stabilire se un fascio di piani è proprio o improprio
III) Fascio di piani generato da una retta in forma cartesiana
IV) Equazione cartesiana del fascio di piani generato da una retta in forma parametrica
V) Esercizio su fascio di piani e piano passante per un punto
VI) Fascio di piani passanti per un punto e ortogonali a un altro piano
VII) Esercizio: studiare due fasci di piani
VIII) Esercizio su fasci di piani, piani generatori e piani esclusi
IX) Determinare alcuni piani in un fascio di piani da individuare
X) Equazione di un fascio di piani e condizioni per piani specifici
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