Esercizi sui fasci di piani

Gli esercizi risolti sui fasci di piani riguardano la loro classificazione tra fasci propri e impropri, e prevedono di determinarne e di studiarne le caratteristiche salienti: equazioni, piani generatori, piani esclusi...

Prima di mettervi alla prova con gli esercizi sui fasci di piani è opportuno aver affrontato gli esercizi sulle posizioni tra piani nello spazio, e avere dimestichezza con la relativa teoria.

Nel contempo per ripassare la classificazione dei fasci di piani, le proprietà che li caratterizzano e i metodi di risoluzione degli esercizi, potete leggere la lezione correlata. ;)

Esercizi risolti sui fasci di piani

I) Fissato il sistema di riferimento nello spazio tridimensionale, scrivere l'equazione del fascio di piani $\mathrm{F}$ paralleli al piano di equazione cartesiana

$\pi:\ x-y-2z-1=0$

Determinare inoltre il piano del fascio che passa per il punto .

II) (a) Scrivere l'equazione del fascio $\mathrm{F}$ di piani generato da:

$\\ \pi_1: \ x+3y-3z-1=0 \\ \\ \pi_2: \ y-z-2=0$

(b) Stabilire se $\mathrm{F}$ è un fascio improprio o proprio, e in quest'ultima eventualità determinare le equazioni parametriche della retta che lo sostiene.

III) Scrivere l'equazione del fascio di piani $\mathrm{F}$ avente come sostegno la retta di equazioni cartesiane

$r:\ \begin{cases}x+2y-3z=0 \\ x+2y-1=0\end{cases}$

IV) Scrivere l'equazione del fascio proprio di piani avente come sostegno la retta di equazioni parametriche

$r:\ \begin{cases}x=1+3t \\ y=2-t \\ z=3+t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$

V) Fissato il sistema di riferimento usuale nello spazio euclideo $\mathbb{R}^{3}$

(a) scrivere l'equazione del fascio di piani $\mathrm{F}$ sostenuto dalla retta passante per i punti $A(1,0,1), \ B(2,1,3)$ .

(b) Determinare il piano $\pi\in\mathrm{F}$ che passa per il punto

VI) Scrivere l'equazione del fascio di piani $\mathrm{F}$ passante per il punto e perpendicolare al piano $\pi$ di equazione cartesiana

$\pi:\ x-2y+4z-1=0$

VII) Stabilire se le seguenti equazioni individuano fasci di piani propri o impropri. Per i fasci propri, determinare le equazioni parametriche della retta sostegno ed eventualmente l'equazione del piano escluso:

$(a) \ \ \ \mathrm{F}_1: \ (1+k)x+2y-kz-1-3k=0$ con $k\in\mathbb{R}$

$(b) \ \ \ \mathrm{F}_{2}:\ \lambda x+(\lambda+\mu) y-\mu z-3\lambda+\mu=0$ con i parametri $\lambda,\mu$ non contemporaneamente nulli.

VIII) Siano

$\\ \mathrm{F}_1:\ (1+k)x+2(1+k)y-(1+k)z+3+k=0 \ \ \ \mbox{con} \ k\ne -1\\ \\ \mathrm{F}_{2}:\ (\lambda-3\mu)x+3(\lambda-3\mu)y+\mu-\lambda=0\ \ \ \mbox{con}\ \lambda\ne 3\mu$

fasci di piani.

(a) Stabilire $\mathrm{F}_1,\mathrm{F}_2$ sono fasci di piani propri o impropri;

(b) determinare i piani generatori;

IX) Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano nello spazio tridimensionale $\mathbb{R}^3$ , scrivere l'equazione del fascio di piani $\mathrm{F}$ avente come sostegno la retta di equazioni cartesiane

$r:\ \begin{cases}x+3y-z=1\\ 2x-z=3\end{cases}$

Determinare inoltre:

(a) il piano $\alpha$ del fascio che passa per l'origine degli assi;

(b) il piano $\beta$ del fascio che è parallelo al piano $\gamma$ di equazione

$\gamma: \ x-3y-z=1$

X) Fissato il sistema di riferimento ortogonale nello spazio tridimensionale, scrivere l'equazione del fascio $\mathrm{F}$ di piani paralleli a $\pi_1$ di equazioni cartesiane

$\pi_1: \ 3x-y-z-9=0$

Determinare, inoltre:

- il piano del fascio che passa per il punto ;

- il piano del fascio contenente la retta di equazioni parametriche

$r:\ \begin{cases}x=-3t\\ y=3-10t\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$