Esercizi sulle posizioni tra piani

State consultando la scheda di esercizi sulle posizioni reciproche tra piani. Tutti gli esercizi sono corredati da svolgimenti completi, spiegati con tutte le osservazioni del caso e i calcoli necessari per arrivare alla soluzione.

 

La traccia che accomuna gli esercizi risolti di questa scheda è bene o male sempre la stessa. Si tratta di studiare la posizione reciproca tra due o più piani nello spazio e di stabilire se essi sono ortogonali, incidenti in una retta, paralleli esterni o paralleli coincidenti. Per la classificazione delle possibili posizioni tra piani e per i metodi di risoluzione degli esercizi vi rimandiamo alla lezione correlata. ;)

 

Ovviamente tali esercizi richiedono di conoscere le nozioni pregresse relative ai piani nello spazio (rappresentazioni, passaggio da una forma all'altra, concetto di vettore direttore di un piano), e sono propedeutici per gli esercizi sui fasci di piani.

 

Per completezza di informazione, sappiate che ci sono altre due schede inerenti lo studio delle posizioni tra enti geometrici nello spazio:

 

esercizi sulle posizioni tra rette nello spazio;

 

- esercizi sulle posizioni tra piani (quella che state leggendo);

 

esercizi sulle posizioni tra retta e piano.

 

Esercizi risolti sulle posizioni tra piani nello spazio

 

I) Sia \mathbb{R}^{3} lo spazio euclideo, munito del riferimento cartesiano standard RC(O, x , y, z). Stabilire se i piani \pi,\pi_1 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi:\ x+y+z=1 \\ \\ \pi_1:\ x-y-z=1

 

sono ortogonali.

 

II) Fissato il sistema di riferimento cartesiano RC(O, x, y, z ) nello spazio euclideo, sia \pi il piano individuato dall'equazione cartesiana

 

\pi: \ 2x+3y-z-3=0

 

Scrivere l'equazione del piano \pi_1 perpendicolare a \pi e passante per il punto P(0,1,3).

 

III) Determinare il piano \pi passante per il punto P(1,0,7) e parallelo al piano \pi_1 di equazioni parametriche

 

\pi_1: \ \begin{cases}x=1+s-t\\ y=2t\\ z=2+3s-t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

 

IV) Stabilire la posizione reciproca dei piani \pi_1,\pi_2 di equazioni parametriche

 

\\ \pi_1:\ (x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,0)+t(3,1,1)\ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R} \\ \\ \pi_2:\ (x,y,z)=(0,1,0)+s(2,0,1)+t(3,1,0) \ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

 

V) Fissato l'usuale sistema di riferimento RC(O, x, y, z) nello spazio \mathbb{R}^3

 

(a) Scrivere le equazioni dei piani:

 

\pi_1 passante per i punti A(0,0,0), \ B(0,1,2),\ C(1,0,1);

 

\pi_2 parallelo ai vettori \mathbf{v}_{1}=(1,1,1) ,\ \mathbf{v}_{2}=(2,0,0) e passante per il punto Q(1,0,0).

 

(b) Studiare la posizione reciproca tra i piani \pi_1\ \mbox{e} \ \pi_2.

 

VI) Fissato il riferimento ortonormale standard RC(O, x, y, z) nello spazio tridimensionale, si considerino i piani \pi_1,\pi_2 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ x+2y+z-3=0 \\ \\ \pi_2:\ (2-k)x+(3-k)y+(2-k)z-3=0

 

(a) Stabilire la posizione reciproca di \pi_1,\pi_2, al variare del parametro reale k\in\mathbb{R}.

 

(b) Determinare, se esistono, i parametri k per i quali \pi_1,\pi_2 sono piani ortogonali.

 

VII) Stabilire la posizione reciproca tra i piani di equazioni cartesiane:

 

\pi_1: \ 2x-y+2z+1=0 \\ \\ \pi_2 : \ 2x+4z-2=0 \\ \\ \pi_3: \ x+y+1=0 \end{cases}

 

VIII) Fissato il sistema di riferimento RC(O, x, y, z) nello spazio euclideo \mathbb{R}, studiare la posizione reciproca tra i piani di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1: \ x+3y-z-1=0 \\ \\ \pi_2: \ 2x+y-2z-1=0\\ \\ \pi_3: \ x-7y-z+1=0

 

IX) Fissato il sistema di riferimento ortogonale RC(O, x, y, z) nello spazio euclideo \mathbb{R}^3, studiare la posizione reciproca dei piani di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ x+3y-z=10\\ \\ \pi_2: \ 2x+6y-2z=0 \\ \\ \pi_3: \ x+3y=5

 

X) Studiare la posizione reciproca dei piani \pi_1,\pi_2,\pi_3 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ x+y-z=1 \\ \\ \pi_2:\ h x + y+3z=5 \\ \\ \pi_3: \ x+y+(h+2)z=0

 

al variare del parametro reale h.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Stabilire se due piani sono ortogonali tra loro 

 

II) Piano perpendicolare a un altro piano e passante per un punto

 

III) Piano per un punto parallelo a un altro piano in forma parametrica

 

IV) Posizione reciproca tra due piani in forma parametrica

 

V) Trovare due piani e studiarne la posizione reciproca

 

VI) Esercizio sulle posizioni di due piani nello spazio

 

VII) Posizione reciproca tra tre piani nello spazio

 

VIII) Posizione tra tre piani mediante equazioni cartesiane

 

IX) Esercizio: posizione tra piani in forma cartesiana

 

X) Posizione tra 3 piani in forma cartesiana dipendenti da un parametro

 

 

Lezione correlata

 
 

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