Esercizi su coseni direttori e angoli tra rette nello spazio

Pronti per cimentarvi con gli esercizi su coseni direttori e angoli tra rette nello spazio? Tutte le tracce proposte in questa scheda sono corredate da svolgimenti completi e dettagliati, e sono elencate in ordine crescente di difficoltà.

 

Le nozioni di coseni direttori e angoli tra due rette nello spazio sono irrinunciabili per approfondire lo studio delle proprietà geometriche delle rette e delle loro reciproche posizioni. Gli esercizi svolti che vi proponiamo qui di seguito servono proprio a consolidare le definizioni e le proprietà spiegate nella lezione correlata, inquadrandole da un punto di vista pratico.

 

Per dovere di cronaca precisiamo che questa tipologia di esercizi non è tra le più ricorrenti in sede d'esame. Nonostante ciò vi raccomandiamo di non trascurare l'argomento in quanto è essenziale per avere un quadro completo della teoria, anche in vista degli sviluppi successivi. ;)

 

Nota bene: in riferimento al calcolo degli angoli tra enti geometrici nello spazio, ci sono altre due schede che potrebbero interessarvi

 

- esercizi sugli angoli tra rette nello spazio (quella che state leggendo);

 

esercizi sugli angoli tra piani;

 

esercizi sugli angoli tra retta e piano.

 

Esercizi risolti su coseni direttori e angoli tra rette nello spazio

 

I) Calcolare i coseni degli angoli convessi formati dalle rette r,s di equazioni parametriche

 

\\ r: \ \begin{cases}x=2t\\ y=-t\\ z=1+t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=2+t\\ y=-2t\\ z=3+t\end{cases}

 

II) Calcolare i coseni degli angoli generati dalle rette r,s di equazioni cartesiane

 

\\ r: \ \begin{cases}x-3y+z=0\\ y+2z=1\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-3y=0 \\ x-2z=1\end{cases}

 

III) Siano dati i punti dello spazio tridimensionale su cui è stato fissato il riferimento cartesiano ortonormale RC(O, x, y, z)

 

A(1,0,0) \ \ , \ \ B(1, 0,1)\ \ , \ \ C(1,1,0)  

 

e siano r la retta orientata da A a B ed s la retta orientata da A a C.

 

(a) Determinare l'angolo \widehat{rs};

 

(b) Calcolare gli angoli che r forma con gli assi cartesiani, orientati nei rispettivi versi crescenti;

 

IV) Fissato il sistema di riferimento cartesiano standard nello spazio tridimensionale, determinare i coseni direttori della retta di equazioni cartesiane

 

r: \ \begin{cases}x-1=0 \\ y+z=0\end{cases}

 

V) Data la retta r nel sistema di riferimento RC(O,x ,y ,z ) di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=\sqrt{2}t\\ y=-t\\ z=-t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

Calcolare i coseni direttori e il versore della retta orientata secondo le z crescenti.

 

VI) Fissato il sistema di riferimento cartesiano RC(O, x, y, z) nello spazio tridimensionale, si considerino le rette r,s di equazioni cartesiane

 

\\ r:\ \begin{cases}x+z=0 \\ y-z=1\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-z=1\\ x+y=0\end{cases}

 

(a) Determinare un vettore direttore per r e uno per s aventi terza componente negativa.

 

(b) Calcolare l'angolo generato dalle rette r,s, orientate col verso dei vettori direttori del punto (a);

 

VII) Dato il punto P(1,0,0) dello spazio euclideo tridimensionale su cui è definito il riferimento cartesiano ortonormale RC(O, x, y, z ). Scrivere le equazioni parametriche delle rette che passano per P e che formano angoli congruenti con gli assi coordinati.

 

VIII) Fissato nello spazio tridimensionale un riferimento cartesiano ortonormale RC(O, x, y, z), determinare le rette per il punto P(5,6,7) che formano angoli congruenti con gli assi coordinati.

 

IX) Fissato nello spazio affine euclideo tridimensionale usuale \mathbb{R}^3 un riferimento cartesiano ortonormale RC(0, x, y, z), determinare la retta passante per il punto P(1,0,3), orientata nel verso delle x crescenti e che forma angoli congruenti con le rette s_1,s_2,s_3 passanti per l'origine, e con direzioni e versi di percorrenza individuati dai vettori

 

\mathbf{w}_{s_1}=(1,1,0) \ \ , \ \ \mathbf{w}_{s_2}=(0,1,1)\ \ ,\ \ \mathbf{w}_{s_3}=(1,0,1)

 

X) Dato a\in\mathbb{R} e date le rette:

 

\\ r:\ \begin{cases}(1-a)y+z-1=0 \\ x+z-3=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=-t\\ y=1+t\\ z=5\end{cases}\ \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

Per quali valori di a le rette r ed s formano un angolo di \frac{\pi}{4}?

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Coseni degli angoli di due rette nello spazio in forma parametrica

 

II) Coseni degli angoli di due rette nello spazio in forma cartesiana

 

III) Calcolare l'angolo tra rette orientate nello spazio

 

IV) Coseni direttori di una retta con equazioni cartesiane

 

V) Coseni direttori e versore di una retta orientata nello spazio

 

VI) Esercizio su vettore direttore e angoli tra rette nello spazio orientate

 

VII) Rette nello spazio che formano angoli congruenti con gli assi nello spazio

 

VIII) Rette nello spazio per un punto e angoli uguali con gli assi

 

IX) Retta nello spazio orientata per un punto e angoli con altre rette

 

X) Valore di un parametro e rette che formano angoli uguali

 

 

Lezione correlata

 
 

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