Esercizi sulle posizioni tra rette nello spazio

State leggendo la scheda di esercizi sulla posizione reciproca tra due rette nello spazio, interamente svolti e spiegati nel dettaglio.

 

Per affrontare gli esercizi è necessario conoscere le nozioni di base, e in particolare le possibili rappresentazioni delle rette, le tecniche di passaggio da una forma all'altra e il concetto di vettore direttore di una retta.

 

Nello specifico, questa scheda di esercizi risolti è suddivisa in due parti. Il primo riguarda lo studio della posizione reciproca tra due rette nello spazio; la seconda parte invece è dedicata alla condizione di parallelismo, alla condizione di incidenza e alla condizione di perpendicolarità tra rette nello spazio. Chi vuole ripassare i metodi di risoluzione degli esercizi sulle posizioni tra rette nello spazio può leggere la lezione dell'omonimo link. ;)

 

In un'ottica più ampia, ci sono altre due schede relative allo studio delle posizioni tra enti geometrici nello spazio:

 

- esercizi sulle posizioni tra rette nello spazio (quella che state leggendo);

 

esercizi sulle posizioni tra piani;

 

esercizi sulle posizioni tra retta e piano.

 

Esercizi risolti sulle posizioni tra rette nello spazio

 

I) In un sistema di riferimento cartesiano ortonormale sono date le rette r,s di equazioni parametriche:

 

\\ r: \ \begin{cases}x=1+t\\ y=2+t\\ z=2t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s: \ \begin{cases}x=t\\ y=1+t\\ z=-2+t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

Stabilire se r,s sono rette complanari e, in caso affermativo, specificare se sono rette incidenti o parallele.

 

II) Sia r la retta di equazioni cartesiane

 

r:\ 2x+7=2x+5z+7=0

 

Mostrare che è parallela all'asse delle ordinate.

 

III) Nel sistema monometrico ortonormale RC(O, x, y, z), studiare la posizione reciproca delle rette r,s di equazioni:

 

\\ r:\ (x,y,z)=(-1,0,1)+(1,1,1)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+z=-1\\ \\ x-y+z=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

 

Nel caso in cui le due rette siano incidenti, ricavare il loro punto di intersezione.

 

IV) Dato un sistema monometrico ortonormale RC(O, x , y, z). Stabilire la posizione reciproca delle rette r,s di equazioni cartesiane:

 

\\ r: \ x-y+z=2x-y-1=0 \\ \\ s:\ x+y=z=0

 

V) Date le rette di equazioni cartesiane

 

\\ r:\ \begin{cases}x-z-2=0\\ -2y+z=0\end{cases} \\ \\ \\ s: \ \begin{cases}x+y-3z=0\\ x-3y-z=0\end{cases}

 

Stabilire se sono rette incidenti determinando il loro eventuale punto di intersezione.

 

VI) Fissato nello spazio un riferimento metrico Oxyz, si determini la posizione reciproca delle due rette

 

\\ r:\ x-y+2z=x+z=0\\ \\ s:\ 2x-y+3z-5=-y+z=0

 

VII) Stabilire se r, r' di equazioni cartesiane

 

\\ r:\ \begin{cases}x = z\\ y = z\end{cases} \\ \\ \\ r':\ \begin{cases}x=2z+1\\ y= -z+2\end{cases}

 

sono rette sghembe.

 

VIII) Sia fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale dello spazio. Stabilire qual è la posizione reciproca delle rette

 

\\ r:\ (x,y,z)=t(1,0,-1) \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ s:\ \begin{cases}2x+y+z=0 \\ 2x+y+2z=0\end{cases}

 

IX) Dire se le seguenti rette dello spazio tridimensionale euclideo sono incidenti, parallele o sghembe

 

\\ r:\ \begin{cases}x=1-t \\ y=t\\ z=3-t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}2x+y+z=2\\ x-y-z=0\end{cases}

 

X) Si studi la posizione reciproca delle rette r,s definite dalle equazioni

 

\\ r:\ \begin{cases}x=t\\ y=t\\ z=1-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-y=0\\ x+y+2z=2\end{cases}

 

XI) Date le rette

 

\\ r:\ \begin{cases}x=1+3t \\ y=2t\\ z=2+6t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}y-2z=0\\ ax-y+1=0\end{cases}

 

con a parametro reale, determinare la posizione reciproca di r e s al variare di a\in\mathbb{R} e, nel caso siano incidenti, il punto di intersezione.

 

XII) Studiare la posizione reciproca delle rette di equazioni cartesiane:

 

\\ r: \ \begin{cases}x-az=1 \\ y-z=a+1\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}(2-a)x-y=1-a\\ x-z=1\end{cases}

 

al variare del parametro reale a.

 

 

Seconda parte

 

XIII) Fissato l'usuale sistema di riferimento ortonormale RC(O, x, y, z) nello spazio tridimensionale, scrivere le equazioni della retta r passante per il punto P(1,1,1) e parallela alla retta s di equazioni parametriche

 

s:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1-t\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

XIV) Scrivere le equazioni parametriche della retta r passante per P(1,2,0) e parallela alla retta s di equazioni cartesiane

 

s:\ \begin{cases}x-3y=0 \\ x-3y+2z=1\end{cases}

 

XV) Fissato il sistema di riferimento standard Oxyz nello spazio tridimensionale, si consideri la retta s di equazioni parametriche

 

s:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=-t\\ z=-3t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

(a) Determinare una possibile retta r passante per l'origine O e perpendicolare a s;

 

(b) Stabilire se r è una retta incidente o sghemba con s.

 

XVI) Fissato nello spazio un riferimento cartesiano Oxyz , scrivere le equazioni della retta s passante per P(0,0,-1), incidente e ortogonale alla retta r di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=7-2t\\ y=2\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

XVII) Si considerino le rette r_1,r_2 di equazioni parametriche

 

\\ r_1: \ \begin{cases}x=1+t\\ y=2t \\ z=1+t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ r_2:\ \begin{cases}x=1-t\\ y=t\\ z=1+2t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

(a) Mostrare che le due rette sono incidenti e ricavare il punto di intersezione P.

 

(b) Determinare la retta s ortogonale a r_1 e a r_2 e passante per il punto P.

 

XVIII) Si considerino le rette di equazioni cartesiane

 

r:\ \begin{cases}x+2y=0 \\ y-z=0\end{cases} \ \ \ , \ \ \ \begin{cases}2x=0 \\ x+y+z=0\end{cases}

 

Dopo aver verificato che sono rette incidenti, determinare la retta q passante per r\cap s e perpendicolare a r e a s.

 

XIX) Date le rette r,s di equazioni cartesiane

 

\\ r: \ x+y+z=x-y+z-1=0 \\ \\ s:\ x+z-3=x-z+3=0

 

- Determinare la retta r_1 parallela a r e passante per il punto P_{1}(1,2,0).

 

- Determinare la retta s_1 parallela a s e passate per il punto P_{2}(3,2,-2).

 

- Stabilire la posizione reciproca delle rette r_1 ed s_1 determinando il punto di intersezione nel caso in cui sono incidenti.

 

XX) Fissato il sistema di riferimento canonico nello spazio euclideo \mathbb{R}^{3}, determinare i valori del parametro h affinché le rette

 

\\ r: \ \begin{cases}x+hy-z=0 \\ x+2y-1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ (x,y,z)=(0,2,0)+(-2,1,2) t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

siano parallele.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Stabilire se due rette sono complanari 

 

II) Retta in forma cartesiana nello spazio parallela a un asse

 

III) Studiare la posizione tra una retta in forma cartesiana e una parametrica nello spazio

 

IV) Stabilire se due rette nello spazio sono sghembe, parallele o incidenti

 

V) Esercizio rette incidenti in forma cartesiana

 

VI) Studiare la posizione reciproca tra due rette con equazioni cartesiane

 

VII) Stabilire se due rette in forma cartesiana sono sghembe

 

VIII) Esercizio sulla posizione reciproca di due rette nello spazio in forma mista

 

IX) Rette parallele, incidenti o sghembe?

 

X) Studio della posizione reciproca tra due rette in forma mista

 

XI) Posizione reciproca di due rette con parametro aggiuntivo

 

XII) Posizione tra rette nello spazio in forma cartesiana con parametro

 

XIII) Retta nello spazio per un punto e parallela a retta in forma parametrica

 

XIV) Retta nello spazio per un punto parallela a una retta in forma cartesiana

 

XV) Rette perpendicolari nello spazio sghembe o incidenti

 

XVI) Retta incidente e ortogonale a una retta nello spazio

 

XVII) Retta nello spazio ortogonale a due rette parametriche incidenti

 

XVIII) Retta nello spazio ortogonale a due rette incidenti in forma cartesiana

 

XIX) Posizione tra due rette nello spazio parallele ad altre due

 

XX) Valori di un parametro per due rette parallele nello spazio

 

 

Lezione correlata

 
 

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