Esercizi sulla direzione della retta nello spazio

A partire da questa pagina potete consultare una selezione di esercizi sulla direzione della retta nello spazio e sulla nozione di vettore direttore. Gli esercizi sono integralmente svolti, spiegati senza omettere alcun passaggio e ordinati per difficoltà crescente.

Prima di affrontare gli esercizi di questa scheda è bene assicurarsi di saper lavorare con le varie rappresentazioni delle rette nello spazio. A tal proposito potete mettervi alla prova con gli esercizi sulle equazioni della retta in forma cartesiana e parametrica.

Riguardo al concetto di direzione di una retta nello spazio, sappiate che essa ha implicazioni e utilizzi estremamente pratici, per cui è bene non sottovalutarne l'importanza. ;) Sappiate inoltre che questa scheda coinvolge anche la nozione di retta orientata.

Esercizi risolti sulla direzione della retta nello spazio

I) Determinare le direzioni delle rette di equazioni parametriche:

$\\ r:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1\\ z=1+3t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=1\\ y=1\\ z=1+3t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$

II) Ricavare la direzione della retta , intersezione dei piani di equazioni cartesiane

$\pi_1:\ x+2y-z-3=0\\ \\ \pi_2:\ y-z-3=0\end{cases}$

esibendo un vettore direttore di .

III) Determinare un versore parallelo alla retta di equazione vettoriale:

$r:\ (x,y,z)=(0,1,1)+t(-3,1,-5)\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$

IV) Determinare i versori direttori della retta di equazioni cartesiane:

$r:\ -2x+y+2z-3=4x+y-z+2=0$

V) Trovare il versore direttore della retta di equazioni parametriche

$r:\ \begin{cases}x=3+t\\ y=2-2t\\ z=5+t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$

orientato nel verso delle crescenti.

VI) Sia la retta che passa per l'origine degli assi e per il punto .

(a) Determinare il vettore direttore $\mathbf{w}$ di avente per terza componente $w_{z}=2$ ;

(b) Stabilire se la retta , con vettore direttore $\mathbf{w}$ , è orientata secondo le decrescenti.

VII) Determinare un vettore direttore $\mathbf{v}$ della retta passante per i punti e in modo che la retta sia orientata da ad .

Scrivere una rappresentazione parametrica di che conservi l'orientazione fissata, e in seguito passare a una sua rappresentazione cartesiana.

VIII) Si fissi un riferimento cartesiano nello spazio euclideo. Si considerino i piani $\pi_1,\pi_2$ di equazioni cartesiane

$\\ \pi_1: \ x+y+z-1=0 \\ \\ \pi_2: \ 2x-y+3z-4=0$

(a) Determinare la direzione della retta $r=\pi_1\cap\pi_2$ .

(b) Scrivere l'equazione vettoriale di in modo che la retta sia orientata secondo le crescenti.

IX) In un sistema di riferimento cartesiano , siano un numero reale e la retta di equazioni parametriche

$r:\ \begin{cases}x=3-at\\ y=1-t\\ z=3-3t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$

(a) Determinare la direzione della retta al variare del parametro $a\in\mathbb{R}$ .

(b) Ricavare il versore direttore in modo che la retta sia orientata nel verso delle crescenti.

X) Trovare la direzione della retta di equazioni cartesiane

$r:\ \begin{cases}x-ay+z-3=0 \\ y+2z-4=0\end{cases}$

al variare del parametro reale . Determinare i valori di in modo che la retta sia orientata nel verso delle crescenti.

Svolgimenti e soluzioni

I) Ricavare i parametri direttori di due rette dalle equazioni parametriche

II) Vettore direttore di una retta dalle equazioni cartesiane

III) Versore parallelo a una retta in forma vettoriale

IV) Versore di una retta in forma cartesiana

V) Versore direttore orientato di una retta in forma parametrica

VI) Esercizio su vettore direttore e orientamento di una retta

VII) Retta in forma parametrica e cartesiana con orientazione specifica

VIII) Direzione e orientazione di una retta intersezione di due piani

IX) Scrivere il versore direttore di una retta con parametro data l'orientazione

X) Retta in forma cartesiana con parametro e con orientazione

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