Esercizi sulla direzione della retta nello spazio

A partire da questa pagina potete consultare una selezione di esercizi sulla direzione della retta nello spazio e sulla nozione di vettore direttore. Gli esercizi sono integralmente svolti, spiegati senza omettere alcun passaggio e ordinati per difficoltà crescente.

 

Prima di affrontare gli esercizi di questa scheda è bene assicurarsi di saper lavorare con le varie rappresentazioni delle rette nello spazio. A tal proposito potete mettervi alla prova con gli esercizi sulle equazioni della retta in forma cartesiana e parametrica.

 

Riguardo al concetto di direzione di una retta nello spazio, sappiate che essa ha implicazioni e utilizzi estremamente pratici, per cui è bene non sottovalutarne l'importanza. ;) Sappiate inoltre che questa scheda coinvolge anche la nozione di retta orientata.

 

Esercizi risolti sulla direzione della retta nello spazio

 

I) Determinare le direzioni delle rette di equazioni parametriche:

 

\\ r:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1\\ z=1+3t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=1\\ y=1\\ z=1+3t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

II) Ricavare la direzione della retta r, intersezione dei piani di equazioni cartesiane

 

\pi_1:\ x+2y-z-3=0\\ \\ \pi_2:\ y-z-3=0\end{cases}

 

esibendo un vettore direttore di r.

 

III) Determinare un versore parallelo alla retta r di equazione vettoriale:

 

r:\ (x,y,z)=(0,1,1)+t(-3,1,-5)\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

IV) Determinare i versori direttori della retta r di equazioni cartesiane:

 

r:\ -2x+y+2z-3=4x+y-z+2=0

 

V) Trovare il versore direttore della retta r di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=3+t\\ y=2-2t\\ z=5+t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

orientato nel verso delle y crescenti.

 

VI) Sia r la retta che passa per l'origine degli assi e per il punto A(2,1,1).

 

(a) Determinare il vettore direttore \mathbf{w} di r avente per terza componente w_{z}=2;

 

(b) Stabilire se la retta r, con vettore direttore \mathbf{w}, è orientata secondo le y decrescenti.

 

VII) Determinare un vettore direttore \mathbf{v} della retta r passante per i punti A(1,3,1) e B(2,1,3) in modo che la retta sia orientata da B ad A.

 

Scrivere una rappresentazione parametrica di r che conservi l'orientazione fissata, e in seguito passare a una sua rappresentazione cartesiana.

 

VIII) Si fissi un riferimento cartesiano RC(O,x,y,z) nello spazio euclideo. Si considerino i piani \pi_1,\pi_2 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1: \ x+y+z-1=0 \\ \\ \pi_2: \ 2x-y+3z-4=0

 

(a) Determinare la direzione della retta r=\pi_1\cap\pi_2.

 

(b) Scrivere l'equazione vettoriale di r in modo che la retta sia orientata secondo le z crescenti.

 

IX) In un sistema di riferimento cartesiano RC(O, x, y, z), siano a un numero reale e r la retta di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=3-at\\ y=1-t\\ z=3-3t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

(a) Determinare la direzione della retta al variare del parametro a\in\mathbb{R}.

 

(b) Ricavare il versore direttore in modo che la retta sia orientata nel verso delle z crescenti.

 

X) Trovare la direzione della retta r di equazioni cartesiane

 

r:\ \begin{cases}x-ay+z-3=0 \\ y+2z-4=0\end{cases}

 

al variare del parametro reale a. Determinare i valori di a in modo che la retta sia orientata nel verso delle x crescenti.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Ricavare i parametri direttori di due rette dalle equazioni parametriche 

 

II) Vettore direttore di una retta dalle equazioni cartesiane

 

III) Versore parallelo a una retta in forma vettoriale

 

IV) Versore di una retta in forma cartesiana

 

V) Versore direttore orientato di una retta in forma parametrica

 

VI) Esercizio su vettore direttore e orientamento di una retta

 

VII) Retta in forma parametrica e cartesiana con orientazione specifica

 

VIII) Direzione e orientazione di una retta intersezione di due piani

 

IX) Scrivere il versore direttore di una retta con parametro data l'orientazione

 

X) Retta in forma cartesiana con parametro e con orientazione

 

 

Lezione correlata

 
 

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